Buna ziua!
Voi nota cu Mx+k= multiplu de x plus k.
Avem de demonstrat ca 10^n+18n-28 este divizibil cu 27, n>0.
Dar (-27) divizibil cu 27, asadar ramane de demonstrat ca 10^n+18n-1 este divizibil cu 27.
Exista o anumita "tehnica" de abordare a problemelor de acest fel. Primul pas este cautarea unei puteri cat mai mica a numarului 10, a.i. 10^n sa fie M27+1, pentru ca odata gasita aceasta putere sa se treaca la pasul 2. O gasim repede: pentru n=3, 10^n=M3+1.
Pasul 2, se considera puterea in functie de resturile obtinute la impartirea sa la 3. Astfel avem de considerat urmatoarele situatii:
Cazul 1. Daca n=M3 => n=3k, k natural.
10^n=10^(3k)=(10^3)^k=(M27+1)^k=M27+1 (1)
18Xn=18X(3k)=27X(2k)=M27 (2)
-1=M27-1 (3)
Insumand (1), (2), (3), obtinem:
10^n+18^n-1=M27+1+M27+M27-1=M27
Astfel, pentru n=M3, 10^n+18n-1 divizibil cu 27.
Cazul 2. n=M3+1 si Cazul 3.n=M3+2 se trateaza asemanator.
Conchidem ca 10^n+18n-28 divizibil cu 27, oricare ar fi n natural>0.
O zi buna!
Aiscrim