Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.7k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

0 plusuri 0 minusuri
614 vizualizari

În triunghiul echilateral ABC cu latura de 6radicaldin3 cm, punctul M este mijlocul laturii BC. Fie D simetricul punctului A faţă de B, DM \cap AC = {P} şi N mijlocul segmentului AP. Aflaţi lungimea segmentului BN.

Junior (1.3k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

AB = BC = AC = BD = 6 . \sqrt{3} = a

AN = AP  ;  BM = MC = a / 2

Trasăm segmentele DC și BF \left | \right | AC

În triunghiul isoscel \triangle BDC segmentul BF este înălțime, mediană și bisectoare, iar DM este mediană. Deci punctul E este centrul de greutate (intersecția medianelor) și este situat la 1/3 de bază și 2/3 de vârf. Adică EF = BF / 3  

În triunghiul dreptunghic \triangle BFC (cu unghiul BCF = 300) BF = BC / 2 = a / 2 . Deci EF = a / 6

DF2 = BD2 – BF2 = a 2 – (a / 2) 2 = 3 a 2 / 4

DE2 = DF2 + EF2 = 3 a 2 / 4 + a 2 / 36 = 28 a 2 / 36 = 7 a 2 / 9

DE = (a / 3 ) . \sqrt{7}

În triunghiul \triangle ADP segmentul BN este linie mijlocie. Deci BN \left | \right | PE. Și cum BE \left | \right | NP înseamnă că BEPN este paralelogram. Deci BE = NP = AN. Dar cum și AB = BD și unghiurile BAN și DBE sunt egale, atunci triunghiurile \triangle BAN și \triangle DBE sunt egale. Deci:

DE = BN = (a / 3) . \sqrt{7} = 2 . \sqrt{21}

Am mai găsit două soluții, dar și ele sunt bazate pe teorema lui Pitagora. Ar fi interesantă o rezolvare fără această teoremă. De exemplu doar pe baza asemănării triunghiurilor. Totuși pare puțin probabilă datorită acelui \sqrt{7}

Junior (367 puncte)
0 0

Dacă nu ne plac triunghiurile dreptunghice (teorema lui Pitagora, sinusuri, etc.) și nici teorema cosinusului și fără BF, se arată că AC este împărțită în trei părți egale de punctele N și P (teorema lui Menelaus), iar apoi BN se calculează cu formula medianei în funcție de laturile triunghiului. Asta dacă se dorește o soluție care să conțină elemente relativ mai puțin utilizate.

...