Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Vf. folderul Spam după înregistrare.
Pune o întrebare

Newsletter


3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.3k comentarii

2.5k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
187 vizualizari

Având la dispoziție 1000 piese domino (1cm x 2cm x 3cm) se poate construi, într-un mod cât se poate de simplu ca în imagine (aici), un paralelipiped mare (10x10x10) având raportul laturilor 1, 2, 3.

Întrebarea este: câte paralelipipede dreptunghice asemenea cu el (cu lungimea laturii mijlocii dublul laturii mici și lungimea laturii mari triplul laturii mici) se pot identifica în paralelipipedul dreptunghic din imagine?

Pentru claritate am figurat colorat trei asemenea blocuri. Desigur că sunt cu mult mai multe, atât ca mărime cât și ca așezare (în interiorul și în partea din spate a blocului mare).

Novice (138 puncte) in categoria Matematica
editat de
0 0
La mine nu se afișează imaginea.
0 0

Până rezolv problema cu postarea imaginii vă trimit un link al imaginii:

Imagine

0 0
Acum am văzut. Mulțumesc. Pînă rezolvați problema ar merge să puneți linkul în întrebare.

1 Raspuns

0 plusuri 0 minusuri

Dimensiunile paralelipipedului sunt egale ca număr de elemente, diferă doar mărimea elementelor. Pe o tablă bidemensională de dimensiuni N x N sunt (N-k+1)(N-k+1) pătrate cu latura k (le spun pătrate din motivul arătat mai sus). Pentru n = 10, pe o astfel de tablă avem (n-1)2 pătrate de latura 2, (n-2)2 pătrate de 3 elemente, și așa mai departe.
Considerăm că avem inițial paralelipipedul ABCDAA1B1C1D1 de dimensiuni NxNx1. Acesta are N2 paralelipipede care satisfac regula 1:2:3. Numarul căutat este deocamdată S1 = N2.La acesta adaugăm stratul următor care  conține încă un numar de N2 paralelipipede. P(ABCDA2B2C2D2) are 2N2 și apar și cele de dimensiune 2, în număr de (N-1)2. S2 = 2N2 + (N-1)2.
La adăugarea următorului strat în P(ABCDA2B2C2D2) apar 3 seturi noi de paralelipipede: N2 de dimensiune 1, (N-1)2 de dimensiune 2 si (N-2)2 cu 3 elemente.
Cele (N-1)2 obiecte de dimensiune 2 apărute sunt identice ca număr cu cele din pasul 2 dar sunt formate din elemente din stratele 2 și 3, în loc de 1 și 2.
S3 = 3N2 + 2(N-1)2 + (N-2)2.
Generalizând, la adăugarea stratului k apar în plus k seturi de noi paralelipipede de dimensiuni N2, (N-1)2,...(N-k+1)2,
Sk =  Sk-1 + N2 + (N-1)2 + (N-2)2 + ... = kN2 + (k-1)(N-1)2 + (k-2)(N-2)2 + ... = \sum_{i=0}^{k-1}(k-i)(N-i)^{2})
Pentru k = N = 10, S_{10}=\sum_{i=0}^{9}(10-i)^{3}=1^{3}+2^{3}+...+10^{3}=3025

Experimentat (4.8k puncte)
editat de
0 0
Grozavă ideea de generalizare. Și corect tratată. Nu mi-a trecut prin minte, și cred că din următorul motiv: până acum nu ați luat în considerare toate posibilitățile, și cazul celorlalte posibilități e mai greu de generalizat, cel puțin așa cât m-am putut gândi pe moment.
În legătură cu celelalte posibilități: nu există în enunțul problemei nici o restricție în legătură cu direcția pe care este orientată, de exemplu, latura mare. Poate fi în adâncime, pe lățime sau pe înălțime. Este adevărat că exemplele sugerează doar o direcție, în adâncime, dar sunt doar niște exemple. Pot fi luate la întâmplare, sau chiar pot fi alese intenționat ca un fel de capcană psihologică!
Deci numărul total e ceva mai mare.
0 0
Le-am mai numarat si altfel. S-ar putea sa fie un total de 4508.
0 0

De data asta sunt prea multe.

0 0
Mai adaug 1000 la rezultatul din răspuns și ajung la 4025!
0 0

Mai lipsesc 49 până la nr. total.

Nu mi-e clar, totuși cum de v-a ieșit în plus față de primul răspuns un număr așa de rotund: 1000. Pare puțin probabil să obții o asemenea diferență de la o etapă de calcul, la alta.

0 0
Nu este nimic necurat cu 1000. Am numărat așa (prima cifră e numărul de elemente, a doua e tipul de element):
- 1 x 2, 4 x 1, 2 x 3 = 630
- 2 x 2, 8 x 1, 4 x 3 = 210
- 1 x 3, 3 x 2, 9 x 1 = 160
Total = 1000
Mi-au scăpat, într-adevăr, cele 49 care sunt de forma 6 x 1, 4 x 3, 9 x 2
Răspunsul meu pripit conținea doar obiectele, nenumărate cu pixul, de forma k x 1, k x 2, k x 3.

Problema e creație proprie?
1 0

Mă bucur nespus că a mers cineva cu calculele până la capăt.

Singura observație e că:

- 2 x 2, 8 x 1, 4 x 3 = 189 

- 6 x 1, 4 x 3, 9 x 2 = 70

Suma lor este 259, la fel ca 210 + 49.

Oricum este o chestie de amănunt, am putea spune nesemnificativ din perspectiva mersului logic al rezolvării problemei. Felicitări.

Ideea problemei mi-a venit de la o întrebare, mediatizată intens pe net: câte pătrate sunt pe o tablă de șah? M-am gândit să o scot din plan în spațiu, în plus cu capcana: 1cm x 2cm x 3cm. Ideea poate fi dusă și mai departe într-un spațiu cu patru dimensiuni și piesa domino 1cm x 2cm x 3cm x 4cm. În loc de 6 variante apar 24 variante, rezolvabile totuși (dar cu răbdare de chinez bătrân). Dar, totuși, complexitatea soluției ar umbri simplitatea ideii.

Am atașat și o soluție imaginară (adică în imagine) (aici).

...