Să numărăm nişte beţişoare!

Question

Pe o masă se aşază pe rând un beţişor roşu, apoi două beţişoare verzi, trei beţişoare roşii, apoi patru verzi şi procedeul continuă.

a) În primele 100 de beţişoare, câte sunt verzi şi câte roşii?

b) Ce culoare are al 2019-lea beţişor?

(Problemă dată la Olimpiada de matematică, clasa a V-a, etapa locală, Botoşani, 2019.)

Answer 1

• Aplicând formula: 1+2+3+...+n = n(n+1)/2  și rezolvând ecuația de gr. doi ce rezultă, se poate răspunde rapid la cele două întrebări. Dar cum acestea nu sunt la îndemâna elevilor de cls. V, m-am gândit cum s-ar putea rezolva problema fără acestea. Iată ce mi-a ieșit:
• Întrebarea I  (o rezolvare destul de pompierească, dar totuși foarte rapidă).
•     1 +  (roșu)
•     2    (verzi)
•     3 +
•     3    (roșii)
•     6 +
•     4    (verzi)
•   10 +
•     5    (roșii)
•   15 +
•     6    (verzi)
•   21 +
•     7    (roșii)
•   28 +
•     8    (verzi)
•   36 +
•     9    (roșii)
•   45 +
•   10    (verzi)
•   55+
•   11    (roșii)
•   66 +
•   12    (verzi)
•   78 +
•   13    (roșii)    
•   91+
•     9    (verzi)    
• 100

Bețișoare roșii:   1+3+5+7+9+11+13 = 49

Bețișoare verzi:  2+4+6+8+10+12+9 = 51

Întrebarea a II a (rezolvare ceva mai elegantă)

• Suma de la 1 la 10:     1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10   =      55  +
• Suma de la 11 la 20:    1+10+2+10+ ... +10+10=55+10x10      =      155
• Suma de la 1 la 20:   ...........................................................   210  +
• Suma de la 21 la 30:   1+20+2+20+ ... +10+20=55+10x20      =       255
• Suma de la 1 la 30:   ...........................................................    465 +
• Suma de la 31 la 40:    1+30+2+30+ ... +10+30=55+10x30      =      355
• Suma de la 1 la 40:   ............................................................   820 +
• Suma de la 41 la 50:    1+40+2+40+ ... +10+40=55+10x40      =      455
• Suma de la 1 la 50:   ...........................................................  1275 +
• Suma de la 51 la 60:    1+50+2+50+ ... +10+50=55+10x50      =      555
• Suma de la 1 la 60:   ................ .........................................   1830 +
• Suma de la 61 la 70:      1+60+2+60+ ... +10+60=55+10x60    =      655
• Suma de la 1 la 70:   ............ .........  (mai mult decât 2019 !!)     2485

Observând că la așezările cu nr. impar avem bețișoare roșii și la cele cu nr. par verzi, pornim din nou de la 60:

• Suma de la 1 la 60:     ......         1830 +
•                                                 61   (roșii)           
• Suma de la 1 la 61:    .......         1891 +
•                                                 62   (verzi)
• Suma de la 1 la 62:     ........       1953 +
•                                                 63   (roșii)
• Suma de la 1 la 63:      .......       2016 +
•                                                   3   (verzi)
•                                             2019

Deci bețișorul cu nr. 2019 este verde.

Comments

Avem un "pompier" foarte bun!