Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.3k utilizatori

1 plus 0 minusuri
157 vizualizari

Senior (7.1k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri

Pun o figură poate utilă pentru că trasez câteva linii ajutătoare.
Notez S = A(DPQ).
S = A(curba DPQC) - A(curba DQC) = [A(curba DPC) + A(curba PQC)] - A(curba DQC). Pentru că segmentele de cerc DP și PQC sunt egale datorită, hai să spun simetriei, obțin:
S = [A(curba DPC) + A(curba DP] - A(curba DQC) = A(tr.DPC) - A(curba DQC) = 25 - A(curba DQC). Dacă aflăm A(curba DQC) ajungem la S. 
Considerând punctul M drept mijlocul laturii CD, atunci suprafața DQC este formată din sectorul de cerc MQC și suprafața curbă DMQ. DMQ este ceea ce rămâne din patrulaterul ADMQ după ce scădem sectorul de cerc ADQ.
S = 25 - [A(curba MQC) + A(curba DMQ)] = 25 - [A(curba MQC) + A(patr. ADMQ) - A(curba ADQ)]

Am ajuns la momentul când ariile de mai sus aproape pot fi calculate. Mai trebuie doar să apelăm la formula \small A(sector\: de\: cerc)=\frac{r^{2}\Theta }{2},\: \: \Theta \: in\: \: radiani 

\small A(curba\: \: MQC)=\frac{5^{2\cdot }QMC}{2}=\frac{5^{2}\cdot 2\cdot QDM}{2}=\frac{5^{2}\cdot DAQ}{2}(subîntind același arc de cerc, QDM este unghi înscris dar DAQ e unghi la centru)
Patrulaterul ADMQ este format din 2 triunghiuri dreptunghice congruente: 

\small A(patr.\: \: ADMQ)=2A(tr.ADM)=2\cdot \frac{5\cdot 10}{2}=50 
\small A(curba \: \: ADQ)=\frac{10^{2}\cdot DAQ}{2}

\small S= 25-\frac{5^{2}\cdot DAQ}{2}-50+\frac{10^{2}\cdot DAQ}{2}=\frac{75\cdot DAQ}{2}-25
Pentru că \small \angle DAQ=2\cdot \angle DAM\: \: si\: \: tanDAM=\frac{5}{10} se obține expresia finală \small S=75\cdot arctan(\frac{1}{2})-25.

Am tot folosit cuvântul curbă pentru a nu se face confuzie cu vreun poligon acolo unde ar fi fost posibil.
P este intersecția diagonalelor pătratului, ceea ce parcă nu prea reiese din figura din enunț sau trebuie să-mi schimb eu ochelarii.
Nu a fost nevoie de formula ariei pătratului, doar de cea a cercului.

Experimentat (4.8k puncte)
0 0

Multumesc de raspuns. Figura dvs e clar mai reusita, a mea e doar gasita pe un alt site. Asa ca pastrati-va ochelarii :)

Nu am formulat tocmai bine intrebarea. In mintea mea ideea era daca putem ajunge la rezultat prin geometrie pura, fara trigonometrie. Adica doar jongland cu arii de patrate, triunghiuri, semicercuri, sferturi de cerc etc. Nu pare a fi posibil. Chiar si dvs ati apelat si la niste triunghiuri si la ideea de arctangenta.

Eu am gasit problema aici, intr-o forma putin diferita: 

1 0
Faptul că apare arctan nu este așa de important. Se poate spune doar că unghiul cutare este cunoscut pentru că se știe latura pătratului.
Interesantă și nedetectată de mine soluția de pe youtube bazată pe diferența dintre cele două "geometric lens", dar parcă are și mai mult calcul decât cea înaintată. Iar cea bazată pe calcul integral te ajută mereu în astfel de probleme, are, fără îndoială, partea ei de frumusețe.
Chiar dacă se simplifică problema, de exemplu se elimină semicercul de pe AD și se cere A(BQC) nu cred că se poate găsi o soluție după cum doriți, un fel de aritmetică cu figuri geometrice și ajutată eventual de ingenioase construcții. Oricum, soluția nu este chiar ușor de găsit, sunt mulțumită de ea, o problemă chiar foarte bună.
0 0
Cred ca aveți dreptate.
Mulțumesc încă o dată pentru efort și pentru soluție.
0 0
Am mai aruncat o privire pe figură înainte de a o pune în sertar.
Dacă se desenează din A un sfert de cerc de rază 5, după echivalarea a două mici suprafețe, avem S = Sector1 (o bucățică de cerc) - Sector2 (idem) - Sfert de pătrat. Parcă se apropie ceva, ceva de ceea ce doreați. Un fel de reverse engineering (trișare, mai degrabă) pentru că știam dinainte rezultatul. Uneori procedeul duce la soluții caracterizate apoi drept ingenioase.
0 0
Nu imi sunt clare constructia si echivalarile de suprafete de care vorbiti. Puteti veni cu un alt desen?
1 0

0 0
Foarte dragut!
Probabil cea mai frumoasa rezolvare posibila, cel putin privind din perspectiva la care m-am gandit eu.
Felicitari!
...