Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
324 vizualizari
Aflati perechile de numere ordonate (a,b) pentru care 1/a+1/b=3/2018.
Experimentat (2.3k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Ecuația se rescrie (a+b)*2018 = 3ab. Cum 3 nu divide 2018 înseamnă că
3 divide (a+b), adică a + b = 3k, k - număr întreg. Din ecuațiile  b = 3k - a și ab = 2018k obțin:\small a^{2}-3ka +2018k=0\; cu \: radacinile\; a_{1,2}=\frac{3k\pm \sqrt{9k^{2}-8072k}}{2}
Radicalul trebuie să fie întreg:\small 9k^{2}-8072k=m^{2},\: \: m-intreg 
\small 9k^{2}-8072k-m^{}2=0,\; cu\; radacinile\; k_{1,2}=\frac{8072\pm \sqrt{8072^{2}+36m^{2}}}{18}
Din nou radicalul trebuie să fie întreg: \small 8072^{2}+36m^{2}=t^{}2,\; t \; -intreg\Rightarrow (t+6m)\cdot (t-6m)=8072^{}2=2^{}6\cdot1009^{2}Pentru că 2 și 1009 sunt numere prime, ambele numere (t+6m) și (t-6m) sunt o combinație de forma\small 2^{}x\cdot 1009^{}y,\; cu\; 0\leq x\leq 6\; si\; 0\leq y\leq 2,\; \; 3\cdot 7\; combinatii\; posibile.Micșorăm drastic numărul lor observând că dacă am scădea (t+6m) și (t-6m), expresia obținută și formată din puterile lui 2 și 1009 trebuie să fie divizibilă cu 12 = 22*3. Deducem că \small x\geq 2 și datorită simetriei ne alegem numai cu x = 2 și x = 3. Astfel descompunerile pot fi doar:
\small (t+6m,t-6m)=\pm \left \{ (2^{2},2^{}4\cdot 1009^{}2),(2^{}2\cdot 1009,2^{4\cdot}\cdot 1009),(2^{}2\cdot 1009^{}2,2^{}4),(2^{}3,2^{}3\cdot 1009^{}2) \right \}Rezolvăm sistemele adunând ecuațiile și se obține \small t\in \left \{ 8144650, 10090, 2036180, 407232\right \}
Mergem în sens invers cu calculele:

\small k\in \left \{ 452929, 1009, 113569, -225892 \right \}

\small a\in \left \{ 1358114, 2018, 340033, 672 \right \}
\small Perechile\; cautate\; sunt\; \; (1358114,673),(2018,1009),(340033,674),(672,-678048)
O soluție mai elegantă poate că există, dar aceasta are avantajul folosirii unei idei simple, accesibilă tuturor, ideea că delta ecuației trebuie să fie pătrat perfect.

Un mic dejun cam greu de ronțăit!

Experimentat (4.8k puncte)
selectat de
0 0
O alta metoda era bazata pe ideea ca 1009 e factor prim in descompunerea lui 2018 si din prima relatie implica ca 1009 divide a sau b sau ambele(caz in care nu avem solutii).Felicitari pentru solutie.
0 0
Există soluție și pentru cazul amintit:(2018,1009)
0 0
adevarat ,era doar solutia aceea .
...