Renunțăm la Bertrand și abordăm problema altfel:
Se observă că pentru fiecare număr de mai sus, numitorul este par și numărătorul este impar. Presupunem că toate numerele armonice H2,H3,...,Hk,...,Hn sunt de forma și arătăm că și Hn+1 respectă regula (principiul inducției tari).
Dacă n+1 este par în forma lui Hn+1 apare 2k-1 în loc de 2k+1 și lucrurile se desfășoară la fel.
Dacă un număr este de forma atunci și partea lui fracționară este de forma . Astfel, pentru orice număr de forma din intervalul [0,1) nu există corespondent de forma {Hn} rezultând nesurjectivitatea funcției.