a) Ecuația are un număr infinit de soluții de tipil x=y, acesta fiind cazul trivial.
b)Pentru cazul x diferit de y. Logaritmăm în baza e și obținem ecuația echivalentă: ln(x)/x = ln(y)/y. Considerăm x<y.
Analizăm funcția f(t) = ln(t)/t. Avem f'(t) = (1 - ln(t))/t2. Observăm că f(t) are un punct de maxim în t = e, unde f' = 0, și că pentru t< e ea e strict crescătoare, iar pentru t > e este strict descrescătoare (f' pozitivă pe primul interval și negativă pe al doilea).
Revenind la ecuația cu logaritmi, dacă ea are soluții naturale, acestea trebuie să se situeze de o parte și de cealaltă a lui e, din motivele arătate la analiza lui f(t), Prin urmare, x< e și y> e.
x = 1 ne conduce la cazul trivial, deci x = 2. Primul membru devine
ln(2)/2. Dar ln(2)/2 = 2ln(2)/4 = ln(4)/4, adică y = 4, ceea ce ne arată că
x = 2 și y = 4 sunt soluții. Pentru y> 4 nu mai există soluții în mod evident, funcția fiind, cum am arătat, strict descrescătoare pe intervalul (e, +infinit).
Din simetria ecuației rezultă deci soluțiile unice x = 2, y = 4 sau x = 4 și y = 2.
Și pentru că suntem la început de an, vă urez un 2018 cu sănătate și veselie.