Am sa arat pentru un p numar prim diferit de 2 si 5 exista un multiplu de p format doar din cifre de 1.
metoda 1.
Fie sirul 1,11,111,....
cum resturile la impartirea cu p sunt doar p valori posibile,e suficient sa consideram din sirul respectiv doar primi p+1 termeni si conform principiul cutiilor exista 2 termeni in sir care au acelasi rest sa zicem ca termeni din sir sunt de rang i si j unde i<j.Scazand cei doi termeni vom obtine un numar de forma
11...100...0 unde 1 apare de j-i ori si 0 de i ori rezulta ca p divide produsul 11...1x100..0 de unde p divide un numar format doar din cifre de 1 in numar de j-i ori
metoda 2
Din mica teorema a lui fermat avem p|10p-1-1=99..9 cu p-1 de 9 daca p e diferit de 3 rezulta ca p divide 11...1 de p-1 ori.Pentru p=3 avem 111 care respecta cerinta.
metoda 3
fie fractia 1/p aceasta fractie e periodica simpla deci fractia 1/p=N/99...9 deci p divide 99...9 si daca p e diferit de 3 rezulta ca p divide un numar de forma 11...1.