Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
385 vizualizari
Un gandac se deplaseaza pe circumferinta unui cerc cu viteza de 1 cm pe secunda. Stiind ca in fiecare secunda cercul isi mareste circumferinta cu 1 metru si ca circumferinta initiala a cercului este de 1 metru, puteti spune daca gândacul ajunge vreodata sa inconjoare cercul ? Daca da, când?
Novice (145 puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

5 plusuri 0 minusuri
Raspunsul este afirmativ.

Melcul in fiecare secunda parcurge o masura unghiulara in prima secunda el face 1/100 din cerc in urmatoarea secunda el va face 1/200 din cerc si asa mai departe.

Daca suma 1/100+1/200+1/300+.... depaseste 360  inseana ca el a parcurs un cerc.Aceasta suma se poate scrie ca 1/100(1+1/2+1/3+...) iar suma din paranteza cunoscuta ca si seria armonica se stie ca diverge si tinde catre infinit.Durata e data de numarul termenilor care reprezinta cate o secunda pana obtinem 36000 in seria armonica.

  Am sa folosesc cunoscutul sir 1+1/2+1/3+.....+1/n-ln(n) care tinde catre C -constanta lui Euler-Mascheroni ceea ce face ca sa putem considera suma aproximativ egala cu ln(n)+C,dar am sa si arat cum se face mai concret.

Consideram functia lnx si aplicam Lagrange pe intervalul (k,k+1)

De unde rezulta ca ln(k+1)-ln(k)=1/c  unde k<c<k+1 de unde rezulta ca

1/(k+1)<1/c<1/k  si inlocuind 1/c avem 1/(k+1)<ln(k+1)-ln(k)<1/k  scriind relatia pentru k=1,2...n si adunand obtinem 1/2+1/3+...+1/(n+1)<ln(n+1)<1+1/2+..+1/n .Pentru problema noastra am sa folosesc partea din dreapta si anume ca Hn>ln(n+1) unde Hn =1+1/2+..+1/n

Cum vreau mai mare ca 36000 trebuie ca ln(n+1)>36000 adica n+1>e^36000 si n ar fi e^36000 -1 care inseamna cam tot atatea seecunde:D.Probabil cateva miliarde de ani si parca cam atata traieste si un melc nui asa?:))))

Edit:am confundat gandacul cu un melc ,la viteza aia ma gandeam la un melc:D
Experimentat (2.3k puncte)
editat de
0 0

Foarte straniu fenomen.

La prima citire a problemei am fost tentat să scriu un comentariu care să exprime ideea că enunțul e greșit.

În mod aparent ni se cere să spunem dacă, mergând pe un drum cu viteza de 1 cm/sec, deci înaintând câte 1 centimetru în fiecare secundă, putem ajunge să parcurgem drumul până la capăt, asta în condițiile în care drumul se lungește în fiecare secundă cu 1 metru. Aproape că seamănă cu expansiunea ”superluminică” a Universului și cum până și luminii îi e imposibil să ajungă în anumite zone după un anumit timp. Deci răspunsul meu inițial ar fi fost că scenariul e imposibil, fie și pentru răbdarea unui melc :)

Pentru mine e complet contraintuitiv că totuși acest lucru e posibil. Unde e șmecheria? Unde am greșit în transpunerea într-un model rectiliniu și uniform a problemei?

0 0
Pe mine ma frapat durata,ce am zis eu miliarde de ani e nimica ,de fapt durata e mult mai mare decat existenta universului ,aceea valoare avand cam 15000 de cifre,iar un an are doar 31,5 milioane de secunde.
0 0
Eu încă am dubii. De pildă, în prima secunda gândacul parcurge o sutime din cerc. Asta nu ar insemna o contribuție de 3,6 grade din totalul de 360 ori de 1/100 din 1?
0 0
Cred ca ai dreptate sa ai dubii. Eu vad problema asa: daca in prima sec. gandacul parcurge 3,6 grade din 360, in a 2 sec. el parcurge 3,6/2 din 360 si tot asa. ajungem la o relatie de forma

3,6 +3,6/2 +3,6/5 ....+3,6/n> = 360, sau

1+1/2+1/3+....+1/n >=100 , asta reduce durata, dar ideea e aceeasi si consideratiile lui Zec raman valabile pentru n >=e^100 -1, cred.

Se poate considera ca dupa fiecare secunda are loc o expansiune a spatiului , (unidimensional, in cazul acesta).In cazul modelului rectiliniu, mi-as imagina un fir extrem de elastic de 1m, dupa prima secunda gandacul se afla la 1cm de un capat al  firului, apoi intind uniform firul pana la lungimea de 2m, gandacul se va afla acum la 2cm de capatul firului si va mai parcurge 1cm intr-o secunda....deci, dupa 2 sec. firul are 2m si gandacul se afla la 3cm de capatul firului....cam asa ceva.Dupa n sec. gandacul se va afla la n+n/2+....+n/n cm de capatul firului si ca sa fi ajuns la celalalt capat ar trebui ca aceasta suma sa fie egala sau mai mare decat 100n, ceea ce ne duce tot la relatia scrisa mai sus.
0 0
ai dreptate legat de suma trebuia pana la 100.Oricum are si asta 43 de cifre deci cam 10^36 ani.
0 0

@goguv

"În mod aparent ni se cere să spunem dacă, mergând pe un drum cu viteza de 1 cm/sec, deci înaintând câte 1 centimetru în fiecare secundă, putem ajunge să parcurgem drumul până la capăt, asta în condițiile în care drumul se lungește în fiecare secundă cu 1 metru."

Cerinta nu este de a parcurge drumul pana la capat ci doar "sa inconjoare cercul", adica sa ajunga in aceaasi pozitie unghiulara de la inceput. Drumul total e o portiune de spirala. Pentru a parcurge 360 de grade e nevoie doar de a strabate o mica portiune a spiralei. 

 

0 0

@mircea_p
Aveți dreptate. Aveți cunoștință de vreun site unde s-ar putea simula grafic felul în care evoluează traiectoria gândacului?

0 0
Cred ca ceea ce scapa din vedere este faptul lungimea TOTALA a drumului se mareste cu 1 metru. Asta inseamna ca se mareste si partea din fata a drumului (ceea ce ramane de parcurs) si partea din spatele gândacului (ceea ce a parcurs deja).
0 0
Nu, zec nu a scăpat acest aspect din vedere. Tocmai de aceea a judecat problema ”unghiular”. Ce nu reușesc eu să vizualizez mental e traiectoria gândacului pe aceasta dezvoltare în timp a cercului...
0 0
Aș mai avea eu o întrebare: credeți că se schimbă cu ceva modelarea matematică a problemei dacă expansiunea cercului e continuă, și la fel și deplasarea gândacului? După părerea mea, dacă pe parcursul primei secunde, în timp ce gândacul se deplasează, are loc și mărirea cercului, continuu și uniform în timp, nu mai putem spune că insecta parcurge 1/100 din cerc în prima secundă. Ș.a.m.d. și în următoarele.

Am dreptate ori nu?
0 0
Daca expansiunea cerculu se face in orice moment problema devine rezolvabila la calcul integral.Cred ca ar trebui urmarita dinamica tangentelor la curba ,ce pare a duce la o ecuatie diferentiala si de considerat functia curbei una care depinde de 2 parametri incluzand si expansiunea sa in functie de t.Trebuie studiat acest caz.
0 0
Problema nu mentioneaza ca marirea diametrului se face in pasi discreti. Eu am presupus de la inceput ca diamterul creste continuu. Doar si mecul (gandacul) merge continuu, nu? Nu sare instantaneu cate 1 cm la ficare secunda.

Ce s-ar intampa cu melcul-gandacul  daca diametrul cercului ar creste instantaneu? Ar avea o viteza radiala infinita la fiecare secunda?
0 0
@mircea_p:

Zec a abordat "discret" problema. Gandacul merge o secunda. Apoi cercul creste o secunda. Apoi iar merge gandacul. Etc. Sau, mai corect spus, marirea cercului e instantanee si nu influenteaza timpii calculati. Asa am interpretat eu rezolvarea lui.

In opinia dvs rezolvarea data de zec e valabila si pentru varianta "continua" a problemei? Ori, daca nu, aveti alt raspuns?
1 plus 0 minusuri
Se pare că problema este una celebră:

https://en.wikipedia.org/wiki/Ant_on_a_rubber_rope



Ce nu îmi e clar e totuși dacă e corect să jonglăm cu această serie divergentă așa cum o face profesorul din videoclipul Numberphile. Lucrăm cu 1/100 din cât e drumul la început, cu 1/200 din cât e drumul după o secundă, cu 1/300 din cât e drumul după 2 secunde, iar la final le însumăm pentru a ajunge la 100% ca și cum ne-am raporta la o lungime de drum fixă, ceea ce nu este adevărat. Dacă judecam radial problema, ca zec, atunci pare corect, dar se naște întrebarea cât e lungimea cercului la acel moment și cât drum a parcurs efectiv insecta...
Senior (7k puncte)
0 plusuri 0 minusuri
Eu privesc problema mai..."babeste" si raspunsul meu este negativ, desi zec a gasit un raspuns afirmativ ceea ce-mi ridica indoieli vis-a-vis de corectitudinea rationamentului meu.

Eu am gandit asa.
Lungimea arcului de cerc corespunzatoare unghiului la centru cu masura de un grad este L/360. (L este lungimea cercului )

Daca initial lungimea cercului are un metru, dupa x secunde lungimea cercului va fi x+1 metrii, adica 100 (x+1) centimetrii.

Asta inseamna ca dupa x secunde, lungimea arcului de cerc descris de un unghi la centru cu masura de un grad va fi (x+1)/3,6 centimetrii.

Dupa x secunde, gandacul a parcurs x centimetrii, iar distanta parcursa de el reprezinta lungimea unui arc de cerc corespunzatoare unui unghi la centru cu masura de 3,6x / (x+1) grade.

Daca punem conditia ca raportul de mai sus sa fie mai mare/egal cu 360, ajungem la o relatie evident imposibila.
Junior (584 puncte)
0 0
Daca admitem ideea unei miscari circulare ,atunci gresim .In ideea de continuitate curba descrisa de miscarea insectei este asemanatoare cu o spirala.Graficul respectiv este sigur o solutie a unei ecuatii diferentiale si asta din cauza ca variatia unghiulara a tangentelor depinde de dilatarea cercului si deplasarea insectei ceea ce sugereaza o derivata de ordin 2.Remarcam faptul ca circumferinta cercului creste liniar ceea ce inseamna cresterea razei tot liniara evident in functie de timp.Pe alta parte miscarea circulara in coordonate polare este rcosx;rsinx unde x reprezinta deplasarea unghiulara. in cazul nostru am avea ceva de genul (R+kt)coslt;(R+kt)sinlt unde k si l ar fi niste constante.Totusi problema necesita un studiu mai aprofundat asupra miscari insectei in cazul unui preces continuu.
0 0
Da zec, ai dreptate, raspunsul la problema este afirmativ.
De altfel, miscarea gandacului pe cercul care se dilata continuu poate fi reprodusa prin rotirea acelui cerc.
Adica ne imaginam gandacul in repaus si rotim doar cercul in sensul deplasarii gandacului. Desigur, traiectoria gandacului va fi de forma unei spirale.

Acum, calculat tot  ''la secunda'' , in secunda 1 cercul cu lungimea de 2 metrii va trebui rotit 1,8 grade. In secunda 2 va trebui rotit 1,2 grade, in secunda 4 , 0,9 grade si tot asa.
Iar numarul x de secunde necesar pentru  a inconjura cercul se deduce din 1/2+1/3+1/4+...+1/x >=100
...