Limita sumei

Question 1

Are cineva vreo idee pentru stabilirea limitei sumei (?) :

$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \prod_{x=1}^{n} \frac{P_{x}-1}{P_{x}}\right )=\frac{1}{2}+\frac{1\cdot 2}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 2\cdot 4}{2\cdot 3\cdot 5}+\frac{1\cdot 2\cdot 4\cdot 6}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7}+\cdot \cdot \cdot$

P_x este al x-lea număr prim.

M-ar interesa o valoare maximă pe care o poate avea suma (desigur, dacă nu tinde la infinit).

Question 2

Termenul seriei poate fi evaluat cu ajutorul teoremei a treia a lui Mertens

Mertens' 3rd theorem:

$\lim _{{n\to \infty }}\ln n\prod _{{p\leq n}}\left(1-{\frac 1p}\right)=e^{{-\gamma }},$

where γ is the Euler–Mascheroni constant.

In concluzie seria respectiva se comporta precum seria

$\sum \frac{1}{ln N}\sim \sum \frac{2^N}{ln 2^N}$

Am folosit criteriul condensarii al lui Cauchy si ne rezulta divergenta la prima vedere.Totusi e o mica diferenta vizavi de evaluarea lui N pentru al n-lea numar prim.Totusi chiar daca luam

$N=2^n$ seria ramane divergenta.

Question 3

Deci, în concluzie, seria este divergentă.

Așa mai merge! :)

Pentru că am găsit o relație interesantă ce încadrează funcția $\pi (n)$ :

$\pi (n)-\left (\pi (\sqrt{n})-1 \right )-u\leq n\prod_{k=1}^{\pi (\sqrt{n})}\frac{P_{k}-1}{P_{k}}\leq \pi (n)-\left (\pi (\sqrt{n})-1 \right )+u$

unde u este seria de mai sus până la $\pi (\sqrt{n})$ :

$u=\sum_{n=1}^{\pi (\sqrt{n})}\left ( \prod_{k=1}^{n} \frac{P_{k}-1}{P_{k}}\right )$

Scris într-o formă alternativă ar fi

$n\prod_{k=1}^{\pi (\sqrt{n})}\frac{P_{k}-1}{P_{k}}+\left ( \pi (\sqrt{n})-1 \right )-u\leq \pi (n)\leq n\prod_{k=1}^{\pi (\sqrt{n})}\frac{P_{k}-1}{P_{k}}+\left ( \pi (\sqrt{n})-1 \right )+u$

Dacă u nu este o serie divergentă, ar fi însemnat că am greșit pe undeva, deși am verificat bine dacă sunt corecte relațiile.

Cam lungi relațiile, dar mersi pentru răspuns.

Question 4

Ca idee folosind teorema lui Bertrand demonstrata de Cebysev care afirma ca intre un numar si dublul sau exista cel putin un numar prim deducem ca pana la $2^n$ avem n numere prime de aceea respectiva serie devine divergenta.Pentru cazul N= $2^n$ numai avem nevoie de condensare ,ea pur si simplu devine echivalenta cu seria armonica cunoscuta ca fiind divergenta.

Categorii

Limita sumei

Te rugam sa te autentifici sau sa te inregistrezi pentru a adauga un comentariu.

Te rugam sa te autentifici sau sa te inregistrezi pentru a raspunde la aceasta intrebare.

0 Raspunsuri