Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Vf. folderul Spam după înregistrare.
Pune o întrebare

Newsletter


3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.4k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
947 vizualizari

\Delta ABC isoscel AB=AC si \sphericalangle A=80^{\circ}.

Fie O centrul cercului circumscris.Bisectoarele \sphericalangle ABO si \sphericalangle ACO intersecteaza CO respectiv BO in D respectiv E.Aratati ca \Delta ADE este echilateral.

Experimentat (2.3k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Scriu de pe mobil si detalierile sunt anevoioase incat las cititorul sa se convinga singur de justetea unor afirmatii. Una din ele ar fi ca putem reduce problema la a arata ca unghiul EAC este de 10grd. In interiorul tr. isoscel AOC (A=C=40grd) este tr. isoscel OEC (O=C=20grd) si mai construim unul la fel avand ca baza pe AO si F al treilea varf tot in interiorul tr. AOC. Unim E cu F si se arata usor ca OEF este echilateral. De asemenea, AFEC devine un trapez isoscel cu unghiurile A si C de 20grd. si laturile neparalele congruente cu baza mica. Se arata usor ca diagonala AE formeaza cu baza mare, AC un unghi de 10grd. C'est tout.
Junior (971 puncte)
selectat de
0 0
Felicitari deci se poate si fara trigonometrie:D
0 0
O imbunatatire - se putea gasi si OAE=30grd: OAE=OAF+EAF=20+10, masura lui EAF determinandu-se din triunghiul isoscel omonim, unde AFE=360-140-60=160grd (deci nu mai trebuie aratat ca AFEC trapez).
3 plusuri 0 minusuri

http://i.imgur.com/Jz4zvZq.png

DE \small \parallel BC pentru că \small \bigtriangleup DOB  \small \sim  \small \bigtriangleup EOC . \small \bigtriangleup ADE este isoscel deoarece \small \bigtriangleup  ADO \small \equiv \small \bigtriangleup AEO (două laturi și unghiul dintre ele egale) Aceste două observații sînt evidente și datorită simetriei construcțiilor. 
În \small \bigtriangleupDBC am  \small \sphericalangle DCB = 10 (50 - 40),\small \sphericalangle DBC = 30 (10 + 20) și deci \small \sphericalangle BDC= 140. Aplic teorema sinusurilor: \small \frac{CD}{sin30} = \frac{BC}{sin140} \rightarrow CD = \frac{BC}{2sin140} = \frac{BC}{2sin40} (1) . În \small \bigtriangleup ABC conform teoremei cosinusului: BC2 = 2AC2 - 2AC2cos80 = 2AC2(1 - cos80). Apelez la formula cos2x = 1 - 2sin2x ---> BC2 = 4AC2sin240 --> \small AC = \frac{BC}{2sin40}     (2)
Din (1) și (2) obțin CD = AC --> \small \bigtriangleup ACD este isoscel și cum CP (P este intersectia bisectoarei din C cu AD) este bisectoare, ea este și înălțime --> \small \sphericalangle CPD = 90.  Acum în \small \bigtriangleup PDE am \small \sphericalangle CPD = 90, \small \sphericalangle DEP = 30 ( cum am spus la început DE \small \parallel  BC), deci \small \sphericalangle ADE = 60 și pentru că \small \bigtriangleup ADE este isoscel (vezi mai sus)  ---> ADE este echilateral. 

Poate este o soluție mai simplă, eu una n-am dibuit-o.

Experimentat (4.9k puncte)
0 0

Foarte frumos,mult mai elegant decat solutia mea,soltie care implica trigonometrie  forte.O mica remarca ,mai exact CP este si mediatoare si deci EA=ED..Solutia mea in mare e identica doar ca eu am aratat AC= CD punand CD=R+OD iara OD lam calculat cu T. cosinus in triunghiul BDO triunghi isoscel avand unghiurile B di D ambele de 20 grade.

  OD^2=OB^2+BD^2-2OB BD cos20^{\circ} }

Reducand si inlocuind BD=R ne rezulta OD=R/2cos20

In timp ce AC din teorema sinusului este 2Rsin50.Eu am aratat ca 

R+R/2cos20=2Rsin50 cae dupa simplificarea cu R duce la identitatea

1+1/2cos20=2sin50 ..Aceasta identitate am scriso sin50-1/2=1/4cos20 care am transformato in sin50-sin30=1/4cos20 dupa transformarea in produs a diferentei se obtine 2sin10cos40=1/4cos20  egalitate care dupa amplificarea cu cos 10 duce la sin80=cos10  ,folosind formula sin2x=2sinxcosx.

Mai astept poate apare si o solutie fara prea multa trigonometrie.

...