Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

0 plusuri 0 minusuri
377 vizualizari

Care este restul impartirii polinomului x^{1986}+x^{25}+x^2 la

(x^{27}+1)(x^{54}+x^{27} +1) ?

Deoarece aritmetica polinoamelor se studiaza acuma in clasa 12-a si destul de sumar, aceasta problema  este foarte grea pentru un elev.

Experimentat (2.3k puncte) in categoria Matematica
0 0
Ne-a prins 2017 cu o problema nerezolvata,deoarece pare o problema cam neinteresanta, in scurt timp am sa ofer solutia problemei.

2 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri

Nu am inteles exact daca asteptati sa vina elevii cu o rezolvare sau asteptati o rezolvare pentru elevi. In a doua situatie, varianta mea este urmatoarea:

Notam f, g,q, r, deimpartitul,impartitorul, catul si respectiv restul.
f=gq+r , f=r pentru g=0
Se face substitutia  x^{27}=y, \Rightarrow
 g(y)=(y+1)(y^2+y+1),
f\left ( y \right )=y^{1986}+y^{25}+y^{2},
f\left ( y \right )=g\left ( y \right )q\left ( y \right )+r\left ( y \right ),unde r(y) are forma
r\left ( y \right )=ay^{2}+by+c , deoarece gr(r(y))<gr(g(y))=3
g(y)=0, \Rightarrow y_{1}=-1,y_{2}^{3}=1, y_{3}^{3}=1, y_{2},y_{3}\neq 1 ,
f\left ( y_{1} \right )=f\left ( -1 \right )=\left (-1 \right )^{1986}+\left ( -1 \right )^{25}+\left ( -1)^{2} \right =1,
f\left (y_{1} \right )=r\left ( y_{1} \right )=a\left ( -1 \right )^{2}+b\left ( -1 \right )+c=a-b+c,
f\left ( y_{2} \right )=y_{2}^{1986}+y_{2}^{25}+y_{2}^{2}=(y_{2}^{3})^{662}+(y_{2}^{3})^{8}y_{2}+y_{2}^{2}=y_{2}^{2}+y_{2}+1
f\left ( y_{2} \right )=r\left ( y_{2} \right )=ay_{2}^{2}+by_{2}+c,

f\left ( y_{3} \right )=y_{3}^{1986}+y_{3}^{25}+y_{3}^{2}=y_{3}^{2}+y_{3}+1,

f\left ( y_{3} \right )=r\left ( y_{3} \right )=ay_{3}^{2}+by_{3}+c,
rezolvand sistemul ,folosind relatiile lui Viete.....
a-b+c=1
ay_{2}^{2}+by_{2}+c=y_{2}^{2}+by_{2}+c
ay_{3}^{2}+by_{3}+c=y_{3}^{2}+by_{3}+c
rezulta a=1, b=1, c=1 si
r\left ( y \right )=y^{2}+y+1,
r\left ( x \right )=(x^{27})^{2}+x^{27}+1=x^{54}+x^{27}+1


 

Novice (347 puncte)
0 0

Ai o mica mare greseala,mai exact x^{1986} nu e y^{1986} conform substitutiei,in schimb e de admirat efortul.Cat despre elevi de liceu,nu ma astept de la ei sa raspunda ,ca nu prea se preteaza problema decat la un numar foarte mic de elevi.

As vrea sa ofer o indicatie,mai precis care e restul lui x^{1986}+x^{25}+x^2 la x^{27}+1 respectiv x^{54}+x^{27}+1 dupa care aflam restul cerut.

2 plusuri 0 minusuri

Am sa ofer solutia pentru cei interesati de ideea de rezolvare.Dupa cum am spus si in indicatia de la comentariul meu vizavi de solutia primita,vom determina intai resturile la impartirea lui x^{1986}+x^{25}+x^2 la x^{54}+x^{27}+1 respectiv x^{27}+1.

Mai usor este cu x^{27}+1. care se poate deduce si din impartirea directa dar o voi justifica un pic diferit.

Scriem x^{1986}+x^{25}+x^2 =x^{1986}+x^{1986-27}-x^{1986-27}-x^{1986-2*27}+x^{1986-2*27}+....+x^{1986-73*27} -x^{1986-73*27}+x^{25}+x^2De remarcat secventa +,-,-,+ si faptul ca se reia cu semnul + la un numar impar k*27 de aceea la 1986-73*27 se termina cu secventa + si - ,grupand cate 2 si dind factor comun deducem restul ca fiind x^{25}-x^{15}+x^2

Aproximativ asemanator vom proceda si la impartirea cu x^{54}+x^{27}+1

Scriem x^{1986}+x^{25}+x^2=x^{1986}+x^{1986-27}+x^{1986-54}-x^{1986-27}-x^{1986-54}-x^{1986-3*27}+ x^{1986-3*27}+.....+x^{1986-73*27}+x^{25}+x^2grupate cate 3 si iarasi remarcand ca ultimul termen ramane cu semnul +(a se remarca secventa repetativa de la 1986-3*27) deducem restul ca fiind x^{25}+x^{15}+x^2 .Scriem teorema impartiri cu rest si notam cu C(x) si D(x) caturile.

x^{1986}+x^{25}+x^2 =C(x)(x^{27}+1)+x^{25}-x^{15}+x^2     (1)

x^{1986}+x^{25}+x^2 =D(x)(x^{54}+x^{27}+1 )+x^{25}+x^{15}+x^2  (2)

Inmultim relatia 1 cu x^{54}+x^{27}+1 iar relatia 2 cu x^{54}+x^{27} dupa care scadem 1 cu 2 si se remarca restul ca fiind x^{25}+x^{2}-2x^{69}-2x^{42}-x^{15}

Experimentat (2.3k puncte)
...