Factorizare numere Mersenne și Fermat

Question

Cum se poate arăta că, dacă p este număr prim, factorii primi ai lui  sunt numere prime strict mai mari ca p ?

Dar că factorii primi ai lui  sunt numere prime strict mai mari ca  ?

Answer 1

Mai de teoria grupurilor ,daca consideram q un numar prim care divide 2^p-1 atunci asta inseamna ca ordinul lui 2 in Zq divide p si cum p e prim trebuie ca ordinul lui 2 sa fie chiar p.Dar din mica teorema a lui Fermat ordinul lui 2 divide si q-1 de unde rezulta ca kp=q-1 deci q=kp+1>p.Partea a doua cred ca e asemanator.Pentru a intelege reamintesc definitia ordinului unui element.

ord(x)=k unde k este minim pentru care x^k =1 si inf daca nu exista k.

Comments

Da zec, nu prea stăpânesc teoria grupurilor, dar o demonstrație apropiată ca principiu cu cea prezentată de tine, apare și pe wikipedia la punctul 3 din linkul de mai jos :

https://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime#Theorems_about_Mersenne_numbers

Am văzut demonstrația după ce am postat întrebarea și din care reiese că "k"-ul din prezentarea ta este divizibil cu 2.

Oricum, apreciez intervenția.

---

o sa explic un pic teoria care e folosita.

Grup e o multime care are asociata o periate intre elementele acelei multimi .Operatia mai poarta nume de lege si trebuie sa aiba proprietatea  de asociativa ,element neutru si inversabil.Subgrup este o multime care impreuna cu aceasi lege devine grup el insusi.O teorema importanta a lui Lagrange afirma ca numerul de elemente al unui sugrup divide numarul de elemente ale grupului.La un grup finit se poate considera subgrupul generat de un element.

Adica 1 ,x,x².....    fiind finit x la o putere k va fi 1 ,altfel am avea o infinitate de valori distincte lucru care contrazice multimea finita. numarul de elemente al acestui subgrup este ordinul elementului x si conform teoremei lui lagrange el divide ordinul grupului.

Zq este considerat grupul de resturi ale numerelor intregi la impartirea cu  q ,resturile sunt de la 0 la q-1 dar Zq cu inmultirea modulo q si fara 0 formeaza un grup.Deci 2 are un ordin care divide q-1 pentru ca atatea elemente are Zq fara 0 si daca 2^p este 1 inseamna ca p este ceea mai mica valoare pentru care 2 la o putere face 1 deoarece p numai are alti divizori.Cam asta e ideea .

---

Așa, în mare, cred că am prins ideea, dar bineînțeles, trebuie ceva practică, exercițiu, ca să ajungi să știi să aplici informațiile astea.

Mulțumesc pentru explicații.