Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

0 plusuri 0 minusuri
397 vizualizari

Problema e luată dintr-un volum mai vechi de teoria numerelor, are o rezolvare destul de simplă, dar aș vrea să văd și alte modalități.

Enunțul sună așa:

Ecuația diofantică 2x^2 -2xy-y^2=1 este imposibilă.

Junior (584 puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

scriind ecuatia ca 2x2-2xy-y2-1=0

si rezolvand ecuatia de grad 2 in necunoscuta x obtinem 

delta=12y2+8=4(3y2+2) .Nu e chiar evident, dar daca vrem solutii intregi atunci neaparat delta trebuie sa fie patrat perfect altfel avem solutii irationale.Cum 4 e patrat perfect asta inseamna ca 3y2+2 sa fie patrat perfect ,lucru imposibil deoarece restul impartiri unui patrat la 3 poate fi doar 1 sau 0.

Experimentat (2.3k puncte)
selectat de
0 0
E bine zec. Să vedem dacă apar și alte răspunsuri, pentru că asta am urmărit de fapt cu problema asta, moduri diferite de a arăta imposibilitatea ecuației, eventual și printr-o metodă mai simplă.
0 0

Dacă tot nu a mai apărut un alt răspuns, îl premiem pe cel oferit.

Felicitări zec!

De altfel, problema era din capitolul second degre binaire iar modul în care se sugera rezolvarea în volumul respectiv era prin transformarea ecuației în congruență mod 3, cam ceea ce ai făcut și tu.

O altă modalitate, zec, ar fi prin analiza parității lui x și y.

Stabilim inițial că y trebuie să fie obligatoriu impar pentru ca ecuația să poată fi posibilă, ceea ce face ca  y2 +1 să fie divizibil cu 2, dar nedivizibil cu 4.

Dacă y este impar, 2x(x-y) este divizibil cu 4 indiferent de paritatea lui x și se ajunge la o egalitate cu membrul stâng divizibil cu 4, iar membrul drept nedivizibil cu 4.

...