Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Vf. folderul Spam după înregistrare.
Pune o întrebare

Newsletter


3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.4k comentarii

2.5k utilizatori

1 plus 0 minusuri
382 vizualizari

Fie Xn n>=0 un sir de numere naturale.Sa se arate ca Xn este progresie aritmetica daca si numai daca exista a>0 astfel incat 

x_{n+1}=x_n+[\frac{x_n}{n+a}]   oricare ar fi n.

Obs. in paranteze patrate se intelege parte intreaga ,autorul problemei e Laurentiu Panaitopol si a fost data la etapa pe tara clasa X in anul 1988.

Experimentat (2.3k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Prin "dacă și numai dacă" înțeleg două lucruri:
1. Presupun existența progresiei aritmetice și arăt existența lui a:
    Din definiția progresiei aritmetice : xn+1 = xn + q (rația progresiei)
    Așadar \small [\frac{x_{n}}{n+a}] . = q. Pun n = 0 și obțin: q = \small [\frac{x_{0}}{a}]. Dar \small \frac{x_{0}}{a}  -1 < \small [\frac{x_{0}}{a}]  = q = \small \leq  \small \frac{x_{0}}{a}. Deci numărul a căutat este situat în intervalul \small \small (\frac{x_{0}}{q+1} .... \frac{x_{0}}{q}].


2. Se dă relația de recurență și trebuie să arăt că șirul (xn) este o progresie aritmetică:
Apelez la inducția matematică:
    n = 0 => x1 = x0 + \small [\frac{x_{0}}{a}]. Nu am nimic de demonstrat ( doar eventual x0\small \geq a) și trec fluierînd mai departe:
    n = 1 => x2 = x1 +\small [\frac{x_{1}}{a+1}] = x0  + \small [\frac{x_{0}}{a}] +   [   \small \frac{\small x_{0}+[\frac{x_{0}}{a}]}{a+1}]. Acestui ultim termen  din sumă , îl notez cu T,  îi aplic inegalitatea : [ \small \frac{\small x_{0}+\frac{x_{0}}{a}-1}{a+1} ] < [\small \frac{\small x_{0}+[\frac{x_{0}}{a}]}{a+1}  \small \leq\small \frac{\small x_{0}+\frac{x_{0}}{a}}{a+1}].  Rezultă  [\small \small \frac{x_{0}}{a} - \frac{1}{(a+1)} ] < T \small \leq \small [\frac{x_{0}}{a}].  Dar [ \small \frac{x_{0}}{a} - \frac{1}{(a+1)}]  >  \small [\frac{x_{0}}{a}]  - \small [\frac{1}{a+1}]  =\small [\frac{x_{0}}{a}] -1.  Așadar T = \small [\frac{x_{0}}{a}] deci x2 = x0 + 2 \small [\frac{x_{0}}{a}], respectă regula unei progresii aritmetice.

Presupun că xn = x0 + n\small [\frac{x_{0}}{a}] și trebuie să arăt xn+1= x0 + (n+1)\small [\frac{x_{0}}{a}] plecînd de la xn+1 = xn\small [\frac{x_{n}}{n+a}] . Înlocuiesc xși am : xn+1 = x0 + n\small [\frac{x_{0}}{a}]  + [ .....]. Ultima parte întreagă nu o mai scriu, că nu mai am putere decît să o notez cu S. Folosind ca mai sus inegalitatea k - 1 < [k]  \small \leq  k  (esențială pentru această posibiliă soluție) obțin S =   \small [\frac{x_{0}}{a}]. q.e.d. 

Of, of, of. Problemă foarte frumoasă. Răspunsul se poate descifra. [.....] = partea întreagă. Editarea acestuia m-a scos din sărite arătîndu-mi nepriceperea în LaTex.

Experimentat (4.9k puncte)
selectat de
1 0

E de preferat folosirea lui r la progresii arimetice si q la geomerice.

Poate fi considerat ca un caz trivial si ratie nula.Sirul constant este progresie de ratie nula.

La partea 1 ,prima implicatie cum as zice eu ,este vorba de a demonstra existenta lui a si in acest caz e mai simplu sa alegem un a si sa verificam.

Cam ceva de genul :Sir de numere naturale ->ratie numar natural

Fie r=k k natural si a=X0/k .Si dupa aceea verificarea care si aici necesita o mica inductie.In rest e foarte bine felicitari.

1 0

Mulțumesc studentului dl. Panaitopol pentru apreciere.  Foarte frumos că-i mențineți amintirea vie, în modul dvs. 
Nu prea sînt mulțumită de redactarea răspunsului meu, dar asta a fost. 
Mulțumesc și pentru indicațiile privind notațiile. Mahmureala sper să nu mă împiedice să le uit.   Mulțumesc și pentru sugestia privind stabilirea lui a. De fapt, mulțumesc oricui pentru orice, ca la Oscar. M-am gîndit inițial la un a fix  dar este mai frumos să stabilim un spațiu pentru a.  

Se pare că promovam clasa a X-a.

...