Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
504 vizualizari

Într-un triunghi ABC, AS este bisectoarea unghiului A. Din S se trasează o paralelă la latura AC, paralelă care intersectează mediana dusă din vîrful A într-un punct T. 

Cum se demonstrează: AS \perp TC ?

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica
2 0

Interesantă problema !

O imagine ajutătoare pentru ceilalți.

0 0
Mulțumesc pentru ajutorul tehnic. Mărind imaginea, soluția mai că mi-a sărit în ochi. Dacă AB < AC, imaginea se schimbă dar soluția rămîne aceeași.

CiprianM & Bzn Radu: Folosiți o aplicație anume pentru desenarea imaginilor geometrice precise?
0 0
Eu unul fac reprezentări nepretenţioase şi nu folosesc vreun soft anume (doar banalul Paint), deşi nu mă îndoiesc că există chestii mult mai bune... Nu ştiam că un simplu +zoom face soluţia mai la îndemână! Când mă uit la ce a zis zec mai jos parcă mă cuprinde îndoiala. Să existe, totuşi, una aproape evidentă şi... simplă? Eu sugerez prelungirea lui CT până taie AB (în P) şi problema ar reveni la demonstrarea faptului că PAC este isoscel (AP=AC), dar calea prin care să arătăm asta pare destul de întortocheată, deşi avem la îndemână o mulţime de relaţii între lungimile segmentelor... Mai căutăm.
0 0
Eu mai fac ceva animații din când în când și folosesc un program anume, care-mi permite anumite lucruri, ușurându-mi munca în determinarea exactă a lungimii laturilor și măsurii unghiurilor.

Am analizat și eu problema, dar n-am găsit o soluție pur geometrică, ci una...nici nu știu cum s-o numesc, probabilistică poate.

Frumoasă și soluția lui zec, dar aș fi curios să văd o demonstrație geometrică ceva mai simplă.

Edit:

Dacă aveți nevoie de un desen geometric mai exact,  vă ajut dacă-mi dați detaliile.

3 Raspunsuri

4 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

O alta solutie acuma sintetica:) sugerata putin de ideea lui Bzn Radu.

Am sa notez cu Q punctul de intersectie dintre CT si AS si cu M mijlocul lui BC.

Vom arata ca MQ||AB si va rezulta MQ linie mijlocie in triunghiul BCP unde P este intersectia lui CT cu AB.

in triunghiul AMS aplicam Menelaus pentru transversala CQT.

\frac{AQ}{QS}\frac{CS}{MC}\frac{MT}{AT}=1

Si tinand cont ca \frac{MT}{AT}=\frac{MS}{CS} din Thales

inlocuind obtinem AQ/QS=MC/MS =MB/MS de unde din reciproca lui Thales rezulta MQ||AB si deci AQ mediana si bisectoare in triunghiul ACP rezulta ACP triunghi isoscel deci AQ inaltime.

Experimentat (2.3k puncte)
selectat de
3 0

Foarte frumos, felicitări !

Uitați și un desen pentru a ușura munca celor care vor să vă verifice rezultatul.

0 0
Tipul de problemă (și soluție!) care, realmente, mă încântă. Eu mă gândisem să evaluez lungimea lui AP (să arătăm că AP=b, de fapt!) fără a mai adăuga desenului și pe MQ. Nu știu dacă merge sau nu, fiindcă nu am insistat prea mult. Se văd vreo 3 perechi de triunghiuri asemenea+teor. bisectoarei+Menelau+Stewart (teor. lui Ceva nu cred că e cazul)... Dacă voi avea timp să o analizez, voi veni cu un răspuns, fie pozitiv, fie negativ (ori, poate, deja a analizat-o cineva dintre dvs.?) Felicitări!
0 plusuri 0 minusuri
Nu raspunde nimeni???!!
Novice (110 puncte)
0 0
Dacă aveți o rezolvare puteți să o postați.
2 plusuri 0 minusuri

solutie vectoriala.

Sa scriem vectorii AS si CT in functie de vectorii dati de laturile triunghiului si lungimile lor pe care le vom nota clasic cu a,b,c.

O sa ma bazez pe ideea de vector de pozitie si urmatoarea propietate .

A ,X si B coliniari daca exista k=AX/XB atunci scriind se obtine ca vectorul 

OX=k/k+1* OB+1/k+1*OA.  Aceste relatii sunt vectoriale

Stim din teorema bisectoarei ca BS/SC=c/b

si considerand k=c/a si calculam AS in functie de AB si AC si cel k obtinem dar un pic modificata fata de relatia data cu A,X si B

adica (k+1)AS=AB+c/b*AC si inmultind cu b apare relatia (b+c)AS=bAB+cAC (1)

Acum sa calculam CT am sa o fac in triunghiul ACM unde M este mijlocul lui BC.

Din Thales la paralela TS in triunghiul ACM obtinem MT/AT=MS/CS

Sa prelucram raportul MS/CS 

Tot din teroema bisectoarei prelucrand putin cu proportii derivate de preferabil adunand numitorul la numarator obtinem CS=ab/b+c

Astfel avem MS/CS=(a/2-ab/b+c)/(ab/b+c)=(c-b)/2b.

Deci (k+1)CT=CM+kCA=CB/2+(c-b)/2b*CA  inmultim cu 2b relatia si obtinem 2b(k+1)CT=bCB+(c-b)CA (2)

Daca (1) inmultit cu (2) face zero rezulta perpendiculare.Pentru ca scalarii nu influenteaza am preferat sa scriu cat mai simplificat, de aceea nu ma intereseaza prea mult scalarii din fata lui AS si CT.

Inmultind obtinem (bAB+cAC)(bCB+(b+c)CA)=b2 AB*CB+b(c-b)AB*CA+bcAC*CB+c(c-b)AC*CA=

=b2ca(cosB)+b2(b+c)c(-cosA)+b2ca(-cosC)+c(b+c)b2(-1)

Pentru ca in aproape toate sumele apare  -b2c am sa il dau factor comun si renunt la el.Motivul pentru care apare -cosB este faptul ca unghiul care il fac acei 2 vectori este unghiul exterior si suplementul are cosinus negativ.Astfel obtinem:

=-acosB+(c-b)cosA+acosC+(c-b)

si inlocuind cosinurile din teroema cosinusului obtinem

=-a(a2+c2-b2)/2ac +(c-b)(b2+c2-a2​)/2bc +a(a2+b2-c2​)/2ab+(c-b)

Simplificand si aducand la acelasi numitor avem

=[-b(a2+c2-b2)+(c-b)(b2+c2-a2​)+c(a2+b2-c2​)+2bc(c-b)]/2bc

Care dupa ce se desfac parantezele se remarca imediat ca face 0.

Solutia a fost editata aducand corecturile necesare ,din cauza ca sunt calcule destul de incalcite e chiar foarte usor sa te incurci in ele.

Experimentat (2.3k puncte)
editat de
0 0

Abordarea este inedită pentru mine. Deși produsul v-a dat 0, consider că "avem MS/CS=(a/2)/(ab/b+c)=(b+c)/2b" este incorect.  

\frac{MS}{CS} = \frac{c-b}{2b} 

0 0
Ops asa e,trebuie sa refac calcule.Mai am o greseala AC cu CA face unghiul  de 180.Initial pusesem corect am vz ca nu iese si am crezut ca mam incurcat aici.Si AB cu CB face unghiul B
0 0
Ideea vectoriala a venit pe faptul ca acei vectori se pot descrie doar cu vectorii triunghiului si scalari la fel.Se remarca relativ usor ca poti scrie vectorii doar in functie de scalarii a,b,c si vectorii triunghiului.Deci ideea a venit imediat stiind ca urmeaza calcule destul de multe am incercat pe cat posibil sa nu ma incurc si sa prezint intr-un mod cat mai simplificat un mod de calcul.Dar stiind ca afirmatia din enunt e adevarata ,practic problema a revenit sa probam niste calcule.Deci trebuia sa imi iasa 0,lucru care se intampla intradevar altfel ar fi fost neperpendiculare.Sunt convins ca exista si o solutie clasica ,dar ea nu e chiar asa simpla si nu in ultimul rand sa apreciem totusi problema ca fiinf frumoasa si delicata:D
...