Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.3k utilizatori

1 plus 0 minusuri
1k vizualizari

eπ sau πe ?

Desigur, mă interesează rezolvări fără calculator stiintific, Matlab sau Wolfram Alpha...

Senior (7.1k puncte) in categoria Matematica
editat de

2 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri

Presupun că n e real pozitiv și scriem ne sub forma

ne = ee*ln(n)  (funcția exponențială și logaritmică sunt reciproce)

astfel că ne rămân de comparat exponenții lui e, adică n și e*ln(n).

Fie f(n) și g(n) : R+ -> R,  f(n) = e*ln(n) și g(n) = n.

Definim h(n) : R-> R, h(n) = f(n)/g(n) = e*ln(n)/n.

h'(n) = [(e*1/n)*n - e*ln(n)]/n2.  Numărătorul derivatei e negativ deci h(n) e strict descrescătoare. deci f(n) < g(n) sau n*ln(n) < n => ee*ln(n) < en deci

ne < en.

Senior (6.6k puncte)
0 0
Constat acum, uitandu-ma de pe un alt calculator, ca se vede destul de ciudat textul meu. Comparatia ceruta de mine era intre baza logaritmului natural ridicata la puterea pi si pi ridicat la puterea bazei logaritmului natural. Nu ca ar schimba cu ceva raspunsul dvs. detaliul asta, doar ma intreb daca astfel pusa problema ati putea-o trata fara analiza matematica...
1 0

Am crezut că e n și nu pi, de-aia am și pus condiția n real pozitiv. Dar, folosind analiza matematică, aș fi procedat la fel, adică aș fi demonstrat inecuația pentru orice n, adevărată deci și pentru n = pi.

Dar, ținând seama că vechile tabele de logaritmi nu sunt nici calculatoare științifice, nici Matlab și nici Wolphram Alpha, ca să mă refer strict la cazul particular n = pi aș fi comparat logaritmii celor două numere:

ln(epi) = pi și ln(pie) = e*ln(pi) 

Aș fi aflat astfel că e*ln(pi) = 3,1116.... < pi, deci pie < epi.

1 plus 0 minusuri

daca consideram functia f(x)=x-elnx   si derivam obtinem f'(x)=1-e/x care pentru x>e creste. .Cum f(e)=0 rezulta ca pentru x>e avem f(x)>0 ,deci f(pi)>0 adica pi-eln(pi) >0 adica pi>ln(pi^e) adica e^pi>pi^e

Experimentat (2.3k puncte)
...