Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Vf. folderul Spam după înregistrare.
Pune o întrebare

Newsletter


3.6k intrebari

6.7k raspunsuri

15.3k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
474 vizualizari
Douã laturi ale unui patrulater convex sînt de lungime 1. Celelalte douã laturi şi ambele diagonale sint cel mult egale cu 1 (fiecare). Care este perimetrul maxim al patrulaterului?
Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Dacă una din laturile egale cu unitatea ale patrulaterului (notat ABCD) este AB putem vedea posibila dispunere a celorlalte două vârfuri (C și D) în construcția din figură, unde cele două cercuri au razele egale cu AB și centrele în A, respectiv B. Cum diagonala AC și latura AD sunt cel mult 1, punctele C și D se vor găsi în interiorul cercului cu centrul în A sau pe circumferința sa. Cum diagonala BD și latura BC sunt cel mult 1, punctele C și D se vor găsi în interiorul cercului cu centrul în B sau pe circumferința sa. Din ultimele două afirmații rezultă că D și C nu se pot afla decăt în zona comună, colorată gri, mai exact pe arcele de cerc care o mărginesc (ca perimetrul patrulaterului să fie cât mai mare). În ipoteză avem că patrulaterul mai are o latură egală cu 1, dar putem arăta că aceasta nu poate fi CD (oricum ar fi plasată, ar exista în zona gri o rază a unuia din cercuri, paralelă cu ea, și se poate arăta că această rază este mai mare). Prin urmare cealaltă latură de lungime 1 este una adiacentă cu AB și presupunem că aceasta ar fi BC. Atunci C trebuie să se afle pe arcul de cerc care mărginește zona gri și are centrul în B, însă, evident, perimetrul maxim al patrulaterului se va obține dacă punctul C se găsește tocmai la intersecția celor două cercuri (laturile CD și DA ar avea, în acest caz, lungimi mai mari).

Desenul este aici: http://imgur.com/vclrbOT

Punctul D se va afla undeva pe arcul mic AC. Am notat cu x măsura unghiului ABD. Unghiul DBC va avea măsura 600-x (triunghiul ABC este echilateral). Acum avem: AB=1, BC=1, CD=2r*sin((600-x)/2)=2sin((600-x)/2), DA=2r*sin(x/2)=2sin(x/2). Perimetrul patrulaterului, p(x)=2+2sin(x/2)+2sin((600-x)/2). Maximul lui p(x) (privind p ca funcție definită pe [00, 600] având expresia de mai înainte) se realizează pentru x=300 (rădăcină a derivatei lui p) și obținem pmax=2+4sin150, care se poate calcula.

Junior (971 puncte)
selectat de
0 0
Dar nu reușesc să inserez imaginea și nici nu mă voi obosi să aflu cum.
1 0
Dacă imaginea se află pe computerul dvs. nu o puteți urca pe serverul nostru cu ajutorul editorului de text pe care îl pune la dispoziție această platformă. Este o limitare a platformei software folosite.

Vă recomand însă utilizarea unor servicii online gratuite de upload imagini, precum imgur.com. După urcarea imaginii pe un asemenea server, ea poate fi inserată în text utilizând URL-ul oferit de serviciul folosit.

L.E.:
Am introdus imaginea de la URL-ul respectiv și în răspunsul dvs.
0 0
E ok, mulțumesc, însă mie tot nu mi-a reușit nici după precizările pe care le-ați făcut...
0 0
Am intrat pe linkul oferit de dvs., la imgur.com, de unde, cu click dreapta pe imaginea propriu-zisa, am vazut ca fisierul-imagine este, de fapt, la adresa: http: // i.imgur.com / vclrbOT.jpg

Aceasta adresa, scrisa fara spatiile lasate mai sus, e translatata in imagine automat.
1 0

E bine ce-ai făcut.

Ai putea arăta că dacă punctul D este pe arcul de cerc AC, atunci AD+DC au cea mai mare valoare dacă triunghiul ADC este isoscel și AD=DC, caz în care BD va fi perpendiculară pe AC.

În continuare ai nevoie numai de teorema lui Pitagora pentru a determina AD (sau DC, AD=DC) și într-un final obții rezultatul tău eliminând sinusul de 15 grade   P_{max}=2\left ( 1+\sqrt{2-\sqrt{3}} \right ) .

0 0

Odată găsit x=300, pmax se poate calcula şi cum aţi spus.

0 0
Remarcabile soluția și efortul depus. Ca supliment, am învățat cum se pune o imagine pe scientia.ro.
...