Ar fi interesant ca altcineva sa demonstreze asta mai direct. Si de unde vine relevanta lui modulo 6 (si alt numar).
Răspunsul tău, mircea_p, este foarte bun, ușor de urmărit și înțeles.
Putem analiza și așa.
n*2n+1 = 2n + 2n(n-1) + 1 =(2n+1) + 2n(n-1)
Fie n=2q+1, adică un număr impar, iar aceasta înseamnă că (2n+1) este divizibil cu 2+1=3.
Ca suma (2n+1) + 2n(n-1) să fie divizibilă cu 3, pentru n impar (2n+1) este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că 2n(n-1) trebuie să fie divizibil cu 3.
2n nu este divizibil cu 3, deci (n-1) trebuie să fie divizibil cu 3.
Dacă n=2q+1 atunci (2q+1)-1=2q trebuie să fie divizibil cu 3, de unde rezultă că q trebuie să fie divizibil cu 3.
Fie q=3k, atunci n este egal cu n=2q+1 = 2*(3k)+1 = 6k+1.
Deci, dacă n*2n+1 este divizibil cu 3, iar n este impar, atunci n este de forma 6k+1.
În mod asemănător se poate arăta că dacă n*2^n+1 este divizibil cu 3, iar n este par, n va trebui să fie de forma 6k+2.
n*2n+1 = 2n -1 + 2n(n-1) +2
Dacă n=2q, înlocuim și obținem
n*2n+1 = 22q -1 + 22q(2q-1) +2 = (4q -1) + 2*[22q-1( 2q-1)+1]
(4q -1) este divizibil cu 3, deci 2*[22q-1( 2q-1)+1] trebuie să fie divizibil cu 3.
2 nu este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că 3 trebuie să apară în factorizarea lui 22q-1( 2q-1)+1 .
22q-1( 2q-1)+1 = 22q-1 + 22q-1( 2q-2) + 1 = (22q-1 +1) + 22q( q-1)
(22q-1 +1) este divizibil cu 2+1=3 , iar pentru ca toată expresia să fie divizibilă cu 3 înseamnă că 22q( k-1) trebuie să fie divizibil cu 3.
22q nu se divide cu 3 și înseamnă că k-1 trebuie să fie divizibil cu 3, de unde rezultă că q trebuie să fie de forma 3k+1.
Pentru că n=2q, iar q=3k+1, înseamnă că n=6k+2.
Înconcluzie, dacă n este par, iar n*2n+1 se divide cu 3, n este un număr de forma 6k+2.
Dar răspunsul tău este mult mai cuprinzător și ușor de înțeles.
Eu doar am arătat cum rezultă mai direct relevanța lui modulo 6.