Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
213 vizualizari

Există numere intregi n care rezolvă problema: 323 divide 20n + 16n- 3n - 1?

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

323 = 17*19, deci trebuie găsite valorile lui n pentru care expresia se divide și cu 17 și cu 19.

Divizibilitatea cu 17:

Observăm că 20n - 3= (20 - 3)(20n-1 + 3*20n-2 +...+3n-1) deci această parte din expresie e divizibilă cu 17 pentru orice n natural. Rămâne să găsim valorile lui n pentru care 17 l 16n - 1.

16n - 1 = (17 - 1)n - 1 = M17 + (-1)n - 1. Am dezvoltat paranteza cu Binomul lui Newton iar M17 inseamnă multiplu de 17, adevărat pentru primii n - 1 termeni ai dezvoltării. Din ultima expresie rezultă că 

17 l 16n - 1 <=> (-1)- 1 = 0 => n e par.

Divizibilitatea cu 19.

Procedând la fel ca în primul caz, observăm că 19 l 20n - 1, deci rămâne să găsim valorile lui n pentru care 19 l 16n - 3n. Folosim tot Binomul lui Newton și avem:

16n - 3n = (19 - 3)n - 3n = M19 + (-3)- 3n

Deci 19 l 16n - 3n <=> (-3)n - 3= 0 => n par.

Expresia din enunț este deci divizibilă cu 323 pentru orice n natural par. Pe lângă aceste soluții există și soluția trivială n = 0.

Pentru n negativ primii 3 termeni ai expresiei sunt subunitari iar problema nu admite soluție.

Senior (6.6k puncte)
selectat de
0 plusuri 0 minusuri
Da. Exista.
Junior (870 puncte)
0 0
M-am amuzat şi eu, pe vremuri, dînd un astfel de răspuns. Enunţul este de vină şi pe ea o deţin eu. Numai bine.
0 0
Cine este "ea"? Cea detinuta.
0 0

Vina.

Iau în considerare şi faptul că este posibil să fiu puţin paranoică din cauza desconsiderării venite  de la cei ale călor meleagurari se pare care sînt nevoită se le bîmtui. Totuşi, v-aş fi spus, vreodată, că vă apreciez mult pentru intervenţiile matematice, fizice date. Dat fiind sarcasmul oferit pun aprecierea la timpul trecut. Nu ar fi deloc rău să urmăriţi raspunsul lui puiu, un om inteligent şi, mai ales, cu foarte mult bun -simţ.

0 0

Il urmarisem deja si l-am votat pozitiv. :)

Uneori mi-e greu sa inteleg ce spuneti in mesajele scrise. Dar dupa ce le citesc de cateva ori imi fac o idee. Banuiesc ca poate si dumneavostra aveti dificultati in a aprecia tonalitatea justa din mesajele mele, chiar cand sant foarte scurte. Nu am intentionat nici un sarcasm. Nici nu imi dau seama cum ar pueta acel raspuns sa fie catalogat cu acest cuvant.(*) Lipseste cu desavrasire intentia de batjocura (sau de produce usturimi cuiva) pentru asta.

Fiind o intrebare de matematica, am incercat sa dau un rapsuns in spiritul rigorii matematice. Am raspuns strict la cerinta problemei, nu la ce as putea specula asupra intentiei autorului textului. Cel mult raspunsul poate ar fi catalogat ca dat oarecum in gluma, da asta doar partial pentru ca nu era un raspuns gratuit, Am incercat cateva valori ale lui n si am vazut ca merge pentru valori pare. Asta e tot ce se cerea pentru a raspunde, nu? 

Ma gandeam si la povestea cu atitudinea "matematicianului" fata de o ecuatie diferentiala: odata ce a demonstrat ca are solutii nu il intereseaza rezolvarea. Asta ca o gluma intre fizicieni, sigur.:)  

(*)

SARCÁSM, (2sarcasme, s. n. 1. Ironie aspră, usturătoare; batjocură necruțătoare. 2. Vorbă, frază, expresie sarcastică. – Din fr. sarcasme, lat.sarcasmus. 

0 0
Okay.

Dar oare pot să mai pun probleme de matematică de care nu mai puteţi face"mişto" ?
0 0

E o intrebare serioasa sau e la "misto"? :)

De fapt, nu inteleg intrebarea dumneavoastra. Si am recitit-o de multe ori. Credeam ca a fost clar din mesajul meu ca nu mi-am batut joc de intrebare si cu atat mai putin de autorul ei. Si nu am desconsiderat pe nimeni asa ca nu vad cum as putea influenta putinta dumneavoastra de a posta whatever ce vor muschii dumneavoastra.

0 0
Şi de ce aţi răspuns cum ati răspuns? Pentru că era un răspuns haios, dar cu o 1/2  sticlă de whiskey mi-a trecut supărarea, minoră de altfel. Nu mai folosiţi cuvinte din engleză, aşa un mic sfat.
0 0
OK, am schimbat. Sper ca am folosit echivalentul corect in romaneste. :)

Si totusi realizez inca o data ca tot nu reusesc sa inteleg exact ce vreti sa spuneti, cu toate ca folositi doar cuvinte romanesti. Poate nu e chestie doar de cuvinte. Si banuiesc ca si reciproca e adevarata, din moment ce tot intrebati de ce am raspuns cum am raspuns dupa vreo 3 mesaje in care am incercat sa explic. Poate ca e o intrebare retorica? Si in fraza urmatoare, "Pentru ca" se refera la ce anume?
0 0
Cred că de fapt aveam dor de schimbat nişte cuvinte, cu doar cineva, v-aţi nimerit dvs şi cu matematica şi cu spiritul.. Nu mă introduceţi în seamă, aplecaţi-vă spre viaţa dvs.
...