Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.3k utilizatori

1 plus 0 minusuri
1.2k vizualizari

O problemă de gazeta matematică de clasa a VI-a căreia nu i-am dat de cap...

Arătaţi că orice număr natural cu 2007 divizori este un pătrat perfect.

Novice (327 puncte) in categoria Matematica
0 0
Orice număr care are un număr impar de divizori este pătrat perfect.
0 0
@Vlad. Ce vi s-a predat la școală în legătură cu numărul de divizori ai unui număr natural?
0 0
@Puiu. La şcoală, când am învăţat capitolul "Divizibilitate", am avut lecţie doar despre Cel Mai Mare Divizor Comun, Cel Mai Mic Multiplu Comun şi Procente. Cât despre numărul de divizori, domnul profesor nu a menţionat nimic şi nici în manual nu pot găsi ceva folositor.

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Vlad, nu trebuie să-ți faci probleme dacă nu i-ai dat de cap. Nici manualul și nici profesorul nu ți-au dat nicio informație necesară pentru acest tip de probleme. Iar cel care a propus-o în Gazeta Matematică la clasa a șasea, deși cu siguranță cunoaște programa, pare a fi urmărit mai degrabă ca elevi dornici de învățătură ca tine să caute să facă meditații cu dumnealui ca să depășească astfel de obstacole. Mă întreb dacă el era în stare să o rezolve de unul singur când era de vârsta ta. Mai mult ca sigur, nu. Ca să nu mai spun că 2007 nu are nimic remarcabil, afară de faptul că, probabil, era anul în care a publicat el problema. De fapt, așa cum a comentat și Gheorghița, orice număr natural cu un număr impar de divizori e pătrat perfect. Voi încerca să redactez o soluție, cu speranța că asta te va ajuta.

a) În primul rând trebuie să știi că orice număr natural se descompune în factori primi ridicați la diverse puteri, iar aceaceastă descompunere e unică. Se numește Teorema Fundamentală a Aritmeticii dar numele are mai puțină importanță.

De exemplu, 60 = 22 * 3 * 5 sau 5082 = 2 * 3 * 7 * 11 sau 2007 = 32 * 223.

b) Există o teoremă care spune că numărul de divizori ai unui număr natural este egal cu produsul unor sume de forma (ak + 1), unde ak sunt exponenții factorilor primi ai descompunerii numărului respectiv, așa cu am descris-o la punctul a).

Exemplu: 60 = 22 * 31 * 51. Exponenții factorilor primi notați de mine cu ak sunt, în acest caz, a1 = 2, a2 = 1 și a3 = 1. Conform teoremei, numărul divizorilor lui 60 este dat de produsul ( 2 + 1 )( 1 + 1 )( 1 + 1 ) = 12.

Să luăm al doilea exemplu:

5082 = 21 * 31 * 71 * 112. Exponenții aai factorilor primi ai lui 5082 sunt: 

a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1 și a4 = 2. Din nou conform teoremei, numărul divizorilor lui 5082 este dat de produsul (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 24.

Demonstrația acestei teoreme nu e prea dificilă, dar mie mi se pare cam peste nivelul clasei a 6 -a. Poate mă înșel. Am căutat pe Net o demonstrație mai simplă și am găsit asta: http://mathschallenge.net/library/number/number_of_divisors 

E în engleză, sper să te lămurești.

Acum problema. Dacă numărul divizorilor, notat cu N, ai unui număr natural este 2007 acest 2007 a fost, conform teoremei de la punctul b), obținut ca produs al unor paranteze de forma (ak + 1). 

Să vedem dacă putem să-l scriem pe 2007 în această formă. După cum ai văzut, am scris mai sus descompunerea lui 2007

2007 = 32 * 223 

El poate fi rescris astfel: 2007 = (2 + 1)2(222 + 1) = (2 + 1)(2 + 1)(222 + 1)

Am îngroșat primii termeni ai sumelor din paranteze pentru a vedea mai ușor că ei sunt, conform teoremei, exponenți a 3  factori primi ai unui număr care are 2007 divizori..

Dacă notăm cei 3 factori primi cu  p1, p2 și p3, numărul natural cu 2007 divizori poate fi, deci,  scris ca n = p12 * p22 * p3222Folosind proprietățile puterilor putem rescrie

n = (p1 * p2 * p111)2, adică n e pătrat perfect.

Ca exercițiu poți încerca, acum sau peste nu mult timp, să demonstrezi că dacă numărul divizorilor N ai unui număr natural n  e nu doar 2007 ci orice număr impar, atunci numărul e pătrat perfect.

Sper că îți e de folos și îți urez succes la învățătură!

Senior (6.6k puncte)
selectat de
0 0

Vă mulţumesc mult pentru ajutor! Într-adevăr, această problemă nu pare că ar trebui să se afle la rubrica pentru clasa a VI-a, dar în astfel de probleme se vede frumuseţea matematicii. :D

0 plusuri 0 minusuri
Se bazeaza pe faptul ca numarul divizorilor este (k1+1)...(kl+1) unde ki este puterea la care apare in descompunere al pi factor.Daca un numar e patrat perfect are factori numai la puteri pare si atunci rezulta numarul divizorilor un produs numai de numere impare.Deci impar.
Experimentat (2.3k puncte)
0 0
Bună afacere. Se pare că am pus comentariul ca să spun "she's like a rainbow" (RS). Puteam să și demonstrez acest fapt, dar cred că am mai făcut-o pe aici.
0 0

@zec. Ați demonstrat că dacă concluzia e adevărată ( dacă pătrat ) atunci ipoteza e corectă ( deci impar), Soluția trebuia să conducă la concluzia deci pătrat, adică să demonstreze necesitatea, nu suficiența.

Dar, văzând profilul lui Vlad, observați că el chiar e elev în clasa a șasea și explicațiile ar fi trebuit să poată lămuri  la acest nivel.

...