1. Fie un poligon convex oarecare cu n unghiuri.
Notăm unghiurile cu ai. Știm că sum(ai) = pi(n - 2) de unde calculăm mărimea medie a unghiurilor am = pi(n-2)/n. Punem condiția ca această valoare medie să fie mai mică decât pi/2, ceea ce înseamnă că un număr oarecare de unghiuri sunt mai mici decît pi/2 și vedem ce restricție rezultă pentru n.
pi(n - 2)/n < pi/2 => n < 4. Rezultă că poligonul poate avea maximum 3 unghiuri ascuțite.
2.O altă soluție, mai geometrică decât prima:
Unghiul exterior unui unghi al unui poligon convex este, prin definiție, unghiul format de o latură a unghiului interior cu prelungirea laturii adiacente. Dacă unghiul interior are valoarea ai, atunci unghiul exterior corespunzător are valoarea ae = pi - ai unde e = i.
Sum(ae) = n*pi - sum(ai) = n*pi - pi(n - 2) = 2*pi = constant. Din definiție rezultă și că oricărui unghi interior ascuțit îi corespunde un unghi exterior obtuz. Asta înseamnă că la 4 unghiuri interioare ascuțite ar corespunde 4 unghiuri exterioare obtuze a căror sumă ar fi, evident, mai mare decăt 2*pi, ceea ce e imposibil.
Deci poligonul poate avea un număr maxim de 3 unghiuri ascuțite.