Hai să vedem dacă soluția mea este bună.
Să scriem numărul inițial sub forma (a1a2a3a4...an ), unde a1 , a2 , a3 ,..., an , sunt cifrele numărului de la stânga la dreapta.
Din ceea ce cere întrebarea ta înseamnă că trebuie să avem o egalitate de forma
(a1a2a3a4...an ) = k•(a1a2a3a4...an-1 )
unde (a1a2a3a4...an-1 ) este reprezentarea cifrelor numărului de la stânga la dreapta prin eliminarea ultimei cifre an .
Așa cum a remarcat Puiu, soluția trivială este an = 0 , iar k=10 .
Analizând altfel, putem stabili că și diferența
(a1a2a3a4...an ) - (a1a2a3a4...an-1 ) trebuie să fie divizibilă cu (a1a2a3a4...an-1 ) pentru că avem
(a1a2a3a4...an ) - (a1a2a3a4...an-1 ) = (k-1)•(a1a2a3a4...an-1 )
Să scriem cele două numere sub forma
(a1a2a3a4...an ) = a1•10n-1 + a2•10n-2 +...+ an-1•101 + an
(a1a2a3a4...an-1 ) = a1•10n-2 + a2•10n-3 +...+ an-2•101 + an-1
Dacă facem diferența lor , (a1a2a3a4...an ) - (a1a2a3a4...an-1 ) , obținem
9•{a1•10n-2 + a2•10n-3 +...+ an-2•101 + an-1 } + an
diferență care trebuie să fie divizibilă cu (a1a2a3a4...an-1 ) .
Observăm că între acolade este exact numărul (a1a2a3a4...an-1 ) de unde rezultă că an trebuie să fie divizibil cu (a1a2a3a4...an-1 ) pentru ca toată expresia să fie divizibilă cu (a1a2a3a4...an-1 ) .
Evident, an este un număr format dintr-o singură cifră, în timp ce (a1a2a3a4...an-1 ) are n-1 cifre și desigur, în acest caz nu putem vorbi de faptul că an se divide cu (a1a2a3a4...an-1 ) dacă n-1 este mai mare ca 2.
Deci, doar în cazul trivial când (a1a2a3a4...an ) este divizibil cu 10, numărul (a1a2a3a4...an-1 ) , obținut prin eliminarea ultimei cifre an , poate conține oricât de multe cifre.
Dacă (a1a2a3a4...an ) nu este divizibil cu 10, atunci n=2, iar numărul inițial este de fapt doar (a1a2) și acesta se divizide cu a1 doar dacă a2 se divide cu a1 .
Exemplele sunt cele pe care le-a menționat Puiu în explicația sa.