O să formulez un răspuns.
Raționamentul nu îmi aparține, sursa fiind specificată la finalul mesajului. Efortul meu a fost exclusiv de căutare online și de înțelegere a demonstrației teoremei...
Am descoperit că punctul cu pricina, în care se intersectează perpendicularele de care vorbește Gheorghița, se numește anticentrul patrulaterului inscriptibil.
Demonstrația pleacă la drum cu patrulaterul ABCD înscris într-un cerc cu centrul în O.
P, Q, R și S sunt punctele de mijloc ale laturilor AB, BC, CD și DA.
J reprezintă punctul de intersecție al diagonalelor lui PQRS, despre care se demonstrează foarte simplu că este un paralelogram, cu J la mijlocul diagonalelor sale, SQ și PR.
SS' este perpendiculara din S pe BC.
M este punctul de intersecție al lui OJ cu SS'.
OQ și SS' sunt paralele (OQ fiind perpendiculară pe BC, Q fiind punctul de mijloc al acesteia). J fiind la jumătatea lui SQ, rezultă și că J este la jumătatea lui MO (dintr-o congruență de triunghiuri).
Ceea ce înseamnă că SS' trece printr-un punct fix (de fapt independent de perpendiculara aleasă, SS'), acest M.
De aici treaba e cam gata, demonstrația fiind valabilă și pentru celelalte perpendiculare...
Demonstrația am descoperit-o într-una din referințele date de Wikipedia pe pagina dedicată patrulaterelor inscriptibile. Cartea e disponibilă, în mare parte, pe Google Books. Pentru demonstrație și figură puteți merge la adresa de mai jos, la pagina 131:
https://www.worldcat.org/title/college-geometry-an-introduction-to-the-modern-geometry-of-the-triangle-and-the-circle/oclc/78063045/viewport
Dacă am înțeles și redat ceva greșit din ceea ce am citit la pagina menționată, vă rog să mă atenționați.