Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
516 vizualizari
P este un punct oarecare aflat in interiorul unui triunghi echilateral ABC. Cum calculati latura triunghiului ABC in functie de PA, PB si PC?
Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Cateva observatii ,la prima vedere pare o problema simpla dar e chiar foarte grea si duce la solutie destul de complicata.Totusi o ecuatie mai usoara se obtine din urmatoarea idee.

Sa facem o rotatie in jurul lui C de 60 grade in sensul acelor de ceas.Punctul P se va transforma in P' .Triunghiul PCP' va fi triunghi isoscel cu unghi de 60 de grade deci echilateral toate avand lungimea PC oe care sa o notam cu c (PA cu a si PB cu b ) .Triunghiul PAP' este un triunghi cu laturile a,b,c (astfel se arata si ca un punct P determina cu varfurile segmente ce pot forma un triunghi o problema cunoscuta).

Notam cu t unghiul AP'P si aplicam teorema cosinusului in triunghiurile PAP' si AP'C pentru unghiul t respectiv t+60 adica unghiul AP"C obtinem 2 relatii din care se poate elimina t.Adica vom avea:

2bc cost=b^2+c^2-a^2  si 2bc cos(t+60)=b^2+c^2-x^2  unde x e latura triunghiului echilateral.Practic de aici se poate calcula efectiv x inlocuind cost si sin t=sqrt(1-cos^2(t)) cu valoarea din stanga in relatia din dreapta.Nu am continuat calculul dar am sa o fac totusi cu toate ca problema nu cere decat un mod de calcul nu si valoarea:D.

Daca se efectueaza calculul obtinem solutia data si de AdiJapan

sint=sqrt(2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c)/2bc sinusul sa calculat ca fiind sqrt(1-cos^t) si cosinusul luat din prima relatie.

Scriind cos(t+60)=costcos60-sintsin60 si inlocuind calculez 

x^2 din relatia 2.

Experimentat (2.3k puncte)
selectat de
0 0
Mai precizez doar ca problema cunoscuta de care spuneati este teorema matematicianului roman D. Pompeiu si contine si cazul remarcat de AdiJapan.
0 0
Aici se evidenteaza exact din cauza constructiei si intradevar e problema lui Pompeiu  .am incercat initial cu numere complexe sau analitic si la fel ma ducea in ecuatii foarte grele.Dupa aia am incercat vectorial in special la baricentru si am crezut initial ca am gasit solutia dar m-am inselat ,tot complicat era .Abia dupa aceea am apelat la transformari geometrice si rotatia sa dovedit eficienta aici.Solutia lui Adi seamana cu ideea initiala cu Heron dar din cauza calculelor am renuntat rapid la ea ,era evident ca numai cyborgi rezolva asa ecuatii:)
0 plusuri 0 minusuri

Notam A,B,C, varfurile triunghiului  in sens invers acelor ceasornicului , cu a si h laturile,respectiv inaltimea triunghiului, si cu h1,h2,h3 perpendicularele din P pe laturile AC, AB, si BC ale triunghiului .

Atunci

h1=PAsin(PAC) ; h2=PAsin( PAB );

h1+h2=PA(sin(PAC)+sin(PAB))=PA(2sin((PAC+PAB)/2)cos((PAC+PAB)/2))=2PA sin 30cos30=2PA√3/ 4=PA√3/ 2

similar, vom avea

h1+h3=PC√3/ 2

h2+h3=PB√3/ 2

Rezulta

2(h1+h2+h3)= (PA+PB+PC) √3/2

Dar,

ah1/2+ah2/2+ah3/2=ah/2=a2√3/ 4

a(h1+h2+h3)/2=a2√3/ 4

h1+h2+h3= a √3/ 2, deci

2 a √3/ 2=(PA+PB+PC) √3/ 2

a= (PA+PB+PC)/2

Novice (347 puncte)
editat de
0 0

Ceva nu e în regulă. Potrivit rezultatului ar trebui ca suma celor trei distanțe să fie constantă oriunde s-ar afla P în triunghi, și anume egală cu dublul lungimii laturii. Dar verificînd pe cîteva cazuri particulare îmi ies valori diferite:

- Dacă P este unul din vîrfuri, PA+PB+PC = 2*a
- Dacă P este în centrul triunghiului, PA+PB+PC = a*√3
- Dacă P este la mijlocul unei laturi, PA+PB+PC = a/2+a*√3/2

Greșesc eu oare undeva?

0 0
sinx + siny = .....coș 1/2(x-y)
0 0
te ai incurcat in partea de trigonometrie cu transformarea in produs.

Din punct de vedere algebric o idee de solutie ar fi rezolvarea ecuatiei

ce rezulta din suma celor 3 triunghiuri PAB,PAC si PBC egala cu aria lui ABC arii scrise cu formula lui Heron .Doar ca aceasta ecuatie e cam dificila ,dar cine stie poate ca merge.
0 0

Am gresit formula!!!!crying ar fi fost prea simplu, normal.....

 

0 0
€ Livia Felea: am uitat sa va spun, cu tot cu zăpăceala +/-, multumesc pentru efort și felicitări pentru idee.
€  zec: bună ideea cu formula lui Heron. Probabil computerul o rezolva țac-pac. Exista și  o solutie pe gustul dumneavoastră, după cum va știu eu, implică și ea ceva calcule, dar are frumusetea ei.
0 0

Problema se poate rezolva complicat prin insumarea ariilor triunghiurilor formate de P cu A,B,C si apoi egalarea cu aria triunghiului echilateral, dar nu chiar simplu, implica multe calcule. pentru simplificare notam PA=p,PC=q,PB=r si unghiurile PAC=a,PCB=c,PBA=b, laturile triunghiului =l

Atunci vom avea

lpcosa+lqcosc+lrcosb=l2√3/ 4

Ramane sa gasim cosa,cosc,cosb in functie de l,p,q,r

q2=p2+l2-2plcosa

r2=p2+l2-2plcos(60-a)=p2+l2-2pl(1/2cosa+√3/ 2sina), il eliminam pe cosa si obtinem sina, apoi cosa=√1-(sina)2, in functie de l,p,q,r.Se calculeaza similar cosc, cosb. Introducandu-le in egalitatea initiala, cum p,q,r sunt cunoscute, rezulta o ecuatie complicata in l , dar  care se presupune ca se poate rezolva. Cred...

Mai simpla ar fi  o constructie geometrica. Daca construim simetricele lui P fata de laturile triunghiului si le notam P1,P2,P3 , obtinem un poligon AP1BP3CP2,  care are aria dubla fata de triunghiul ABC. Ca sa calculam aria AP1BP3CP2 putem calcula ariile triunghiurilor isoscele P1AP2, cu laturile egale p ( triunghiurile PAP1 si PAP2 sunt isoscele ,cu laturile egale p din constructie) si unghiul din A de 120( pentru ca este = 2a+2(60-a) din constructie) , P1BP3, cu laturile egale r si unghiul din B de 120, si P3CP2, cu laturile egale q si unghiul din C de 120, apoi aria triunghiului P1P2P3 cu formula lui Heron ,( multumesc zec) pentru ca ii cunoastem laturile, P1P2=p√3 ( calculata din triunghiul P1AP2) ,similar P2P3=q√3 si P3P1=r√3.  Aria ABC va fi jumatate din aria AP1BP3CP2, care este exprimata in functie de p,q,r, si egala cu l2√3/ 4. Si asa il vom putea avea pe l in functie de p,q,r. Asta daca nu m-am incurcat din nou...

Oricum, aceste variante imi par  complicate, n-am avut puterea sa le finalizez asa ca nu stiu daca nu cumva sunt din nou gresite. Probabil exista o solutie simpla, o astept.

 

 

1 plus 0 minusuri

Am găsit soluția. Probabil n-o să vă placă cum am ajuns la ea, dar eu o dau oricum.

Fac următoarele notații: a=PA, b=PB, c=PC, iar latura triunghiului o notez cu t. Problema se reduce la a-l calcula pe t din tripletul (a, b, c).

Îl scriu pe t din teorema lui Pitagora generalizată în triunghiurile PBC, PAC și PAB:

t^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(alfa)          (1)
t^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(beta)         (2)
t^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(gama)       (3)

unde alfa, beta și gama sînt unghiurile din jurul lui P, opuse lui A, B și C, respectiv. Despre ele știu că suma lor face 2pi. Atunci folosind periodicitatea și simetria cosinusului am așa:

cos(gama) = cos(alfa + beta)
cos(gama) = cos(alfa)*cos(beta) - sin(alfa)*sin(beta)        (4)

Cîtă vreme P este în interiorul triunghiului, cele trei unghiuri pot fi minimum 60° și maximum 180°. Ca urmare sinusul lor poate fi numai pozitiv. Atunci scriu sinusul așa:

sin(alfa) = sqrt(1-cos(alfa)^2)         (5)
sin(beta) = sqrt(1-cos(beta)^2)       (6)

Pe cos(alfa) și cos(beta) îi scot din ecuațiile (1) și (2). Apoi folosind formulele (5) și (6) pentru sinuși și formula (4) îl înlocuiesc pe cos(gama) din ecuația (3).

Obțin pentru t o ecuație foarte încîlcită, cu un produs de doi radicali, mă iau cu mîinile de cap, scot radicalii într-o parte și restul în cealaltă, ridic totul la pătrat ca să scap de radicali, și în final obțin ecuația următoare:

(a²b²+c4+t4-(c²+t²)(a²+b²))² = (4b²c²-(b²+c²-t²)²) (4a²c²-(a²+c²-t²)²)

Așadar o ecuație polinomială în t, sau mai exact în t². Cum toate mărimile apar la pătrat, fac înlocuiri de variabile și se mai simplifică puțin lucrurile. Încerc s-o rezolv de mînă, îmi dau seama că la zecile de coeficienți care mi-ar ieși ar fi improbabil să nu greșesc măcar la un coeficient sau la un semn, așa că recurg la WolframAlpha Online Equation Solver, care îmi dă următoarele trei soluții:

t² = 0
t² = 1/2 (+sqrt(3) sqrt(2(a²b² + a²c² + b²c²) - (a4+b4+c4)) + a²+b²+c²)
t² = 1/2 (-sqrt(3) sqrt(2(a²b² + a²c² + b²c²) - (a4+b4+c4)) + a²+b²+c²)

Evident, din aceste formule se poate calcula t = sqrt(t²).

Prima soluție nu e bună. Probabil trebuie eliminată dacă punem toate condițiile apărute pe drum, la ridicarea la pătrat, de exemplu.

A doua soluție e bună. Am făcut un program care calculează acel t² pentru milioane de puncte P în diferite poziții față de un triunghi echilateral și într-adevăr latura pătratului iese din calcul cum trebuie. O observație: P nu are nevoie să fie neapărat în interiorul triunghiului, ci poate fi în interiorul cercului circumscris, iar formula funcționează în continuare.

Surpriza apare la formula a treia. Ea nu este valabilă în interiorul cercului circumscris (deci nici în interiorul triunghiului), dar funcționează dacă P se află în exteriorul cercului circumscris. Așadar din cele trei distanțe putem afla latura triunghiului oriunde s-ar afla P în plan, dar avem nevoie de o informație suplimentară: unde se află el în raport cu cercul circumscris. În funcție de asta aplicăm o formulă sau pe cealaltă.

Încă o surpriză: dacă inversez formulele, adică dacă încerc să aplic formula cu plus atunci cînd P este în exteriorul cercului circumscris, sau invers, ceea ce obțin nu e latura triunghiului, ci o mărime proporțională cu distanța de la P pînă la centrul lui.

Așadar nu mă dezmint, fac ce fac și mereu îmi ies pe post de soluții niște cyborgi, jumătate biologici și jumătate roboți, adică în parte calculați cu mintea și cu mîna pe hîrtie și în parte cu ajutorul calculatorului. Asta e, important e să meargă.

Expert (12.8k puncte)
0 0
E teribil!!
0 0
Ambiguitatea a fost intenționată? :-)
0 0
Solutia este corecta. Programele fiind concepute de oameni => solutia este 100% umana, va apartine si va felicit pentru ea.
...