Ecuația e echivalentă cu (1/2)*(x+y+z)*[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]=1. A doua paranteza (cea patrata) este un intreg pozitiv (suma de patrate), prin urmare si prima si atunci valorile lor vor fi perechile (1,2) sau (2,1). A doua varianta cade intrucat paranteza patrata, daca ar fi 1, ar trebui sa aiba un termen egal cu 1 si doi nuli, fapt ce ar conduce la x=y=z, care nu este solutie. Daca paranteza patrata este 2, doi termeni trebuie sa fie 1 si al treilea 0. De exemplu, daca (z-x)2=0 => z=x si din (x-y)2=1 => x-y=1(a) sau x-y=-1(b), celalalt termen devenind (y-x)2=1. Cum x+y+z=1 rezulta (tinand cont de z=x=y+1, cazul (a)) ca y+1+y+y+1=1 =>y nu e intreg, deci nu obtinem solutii. Considerand z=x=y-1 (situatia (b)) obtinem y-1+y+y-1=1 => y=1 si automat x=z=0. Deci singurele solutii (1,0,0) si permutarile ei. Transformarea membrului stang al ecuatiei date se poate realiza astfel:
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y)(x2 - xy + y2) + z(z2 - 3xy) = (x + y + z)(x2 - xy + y2) + z(z2 - 3xy - x2 + xy - y2) = (x + y + z)(x2 - xy + y2) + z(z2 - (x + y)2) = (x + y + z)(x2 - xy + y2 + z(z - x - y)) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz). Dublam termenii ultimei paranteze pentru a construi acolo patratele diferentelor x-y, y-z si z-x, dar vom scrie si un 1/2 in fata intregului produs.
