Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
457 vizualizari
Se dau in spatiu punctele A1.....An exterioare unei sfere S. Pentru fiecare punct M de pe suprafata sferei notam S(M) suma patratelor distantelor de la M la punctele A1......An. Care sint pozitiile lui M pentru care S(M) este minima si respectiv maxima?
Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Pentru simplitate definesc un sistem de coordonate carteziene Oxyz cu originea O în centrul sferei.

Îl descompun pe S după dimensiuni: S = Sx+Sy+Sz,
unde Sx = sumă[xM-xk)^2], unde xM este abscisa lui M, iar xk cu k de la 1 la n sînt abscisele punctelor Ak. Pe Sy și Sz îi definesc analog.

Dezvolt pătratul de sub sumă și descompun suma în trei bucăți:

Sx = sumă[xM^2] + sumă[xk^2] + sumă[-2*xM*xk].

La fel procedez cu Sy și Sz.

Acum îl recompun pe S din cele trei dimensiuni, luînd primul termen din Sx, Sy și Sz, apoi al doilea și apoi al treilea. Astfel S devine:

S = T1 + T2 + T3.

Primul termen este T1 = sumă[xM^2 + yM^2 + zM^2]. Iese T1 = n*r^2, unde r este raza sferei. Acest prim termen e constant, independent de poziția lui M pe sferă.

Al doilea termen T2 = sumă[xk^2 + yk^2 + zk^2] este suma pătratelor distanțelor de la centrul sferei la punctele Ak. Nici acest termen nu depinde de poziția lui M pe sferă.

Ultimul termen iese așa:

T3 = -2*(xM*sumă[xk] + yM*sumă[yk] + zM*sumă[zk]). Acest T3 e singurul care depinde de poziția lui M pe sferă.

Suma componentelor xk este de n ori un xmed, definit ca media aritmetică a lui x1,... xn. La fel și pe y și z. Atunci definesc un punct în spațiu numit Amed care este centrul de masă al punctelor A1,... An (considerate cu mase egale), iar coordonatele lui Amed sînt xmed, ymed, zmed.

Atunci iese: T3 = -2*n*(xM*xmed + yM*ymed + zM*zmed).

Pentru ca S să fie minim, acest T3 trebuie să fie minim. La fel în sensul opus: T3 maxim pentru S maxim.

Dincolo de coeficientul -2n, termenul T3 este produsul scalar al vectorului OM cu vectorul OAmed. Produsul scalar al doi vectori este egal cu produsul lungimilor vectorilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ei (e valabil și în trei dimensiuni). Astfel produsul scalar e maxim dacă cei doi vectori sînt paraleli și minim dacă sînt antiparaleli.

Ca urmare, T3 ia valori extreme cînd M se află la intersecția dintre dreapta OAmed și sferă. Mai exact, T3 e minim – și deci și S e minim – cînd M este în punctul de pe sferă cel mai apropiat de Amed și invers cînd M e în partea diametral opusă.

Dacă Amed se nimerește să fie chiar în centrul sferei, S are o valoare constantă indiferent unde se află M pe sferă.

Mi se pare o problemă interesantă. N-am mai văzut-o, deși dată fiind simplitatea ei îmi dă impresia că ar putea avea o mulțime de aplicații în matematică și științe (cum a fost cazul cu problema mea de zilele trecute, cu diagrama Voronoi). Aveți vreun exemplu de aplicație?
Expert (12.9k puncte)
0 0
Votez si eu pentru faptul ca problema are "potential", dar mintile iscoditoare si-au luat vacanta.
...