Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
373 vizualizari
Cum se pot afla numerele naturale x, y, z care au proprietatea:
7*(x^3 + y^3 + z^3) = 18*(x^2 + y^2 + z^2)?
Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Rescriem ecuaţia astfel:

(x+ y+ z3)/(x2 + y2 + z2) = 18/7 egal aproximativ cu 2,57.

 

A. O primă observație este că funcția de 3 variabile definită de termenul stâng este crescătoare, ceea ce ne duce la concluzia că o eventuală soluție nu poate exista pentru valori mari ale variabilelor. Cu cât oricare din ele crește, cu atît raportul dintre numărător și numitor crește față de valoarea de 2,57.

 

B. Analizând  paritatea observăm că paranteza din membrul stîng trebuie să fie un număr par, caz în care x, y și z nu pot fi decât toate 3 pare sau două impare și unul par.

 

Cu aceste observații avem motive să căutăm soluția, dacă ea există, ca o tripletă de numere naturale mici care respectă condiția B.

(2,2,2), (3,3,2) și (1,1,2) nu sunt soluții. Mai rămâne tripleta (1,2,3) care e soluție. Deci ecuația are 6 soluții, cele 6 permutări ale tripletei (1,2,3) plus soluția banală (0,0,0). Din considerentele de la început, expresia fiind strict crescătoare, nu există alte soluții în afara celor pe care le-am depistat. Mi-ar fi plăcut să găsesc niște artificii de calcul dar nu am găsit altă metodă decât cea a încercărilor.

Senior (6.6k puncte)
selectat de
0 plusuri 0 minusuri
Se remarcam ca x,y,z>=3 nu putem avea.

x>=3 implica x^3>=3x^2 .Scriind si pentru y respectiv z obtinem

x^3+y^3+z^3>=3(x^2+y^2+z^2)>18/7(x^2+y^2+z^2).

Deci cel putin unul din numere e mai mic ca 3.

Un alt fapt rezulta din divizibilitate si anume 7 trebuie sa divida x^2+y^2+z^2,dar resturile unui patrat cu 7 poate avea decat  valorile 0,1,2 sau 4.Deducem ca ne convine doar resturile lui x,y si z sa fie 0 toate sau 1,2 si 4.Cazul cu 0 ne implica doar solutia banala x=y=z=0.

Putem presupune datorita simetriei ca x<=y<=z..Cum unul din numere e mai mic ca 3 si alegand x=1 sau x=2 nu vom obtine solutii dupa inlocuire si rationand pe acelasi principiu al inegalitati.

Fie x=1 inlocuind vom obtine y^3+z^3=18/7(y^2+z^2)+18/7 si y,z mai mari sau egal cu 3 duce la y^3+z^3>=3(y^2+z^2) care este mai mare strict decat 18/7(y^2+z^2)+18/7 relatie echivalenta cu y^2+z^2>6 care este adevarata.Astfel y poate lua doar valoarea 2 din cauza ca numai putem avea decat rest 2 sau 4.si inlocuind nu gasim z cu restul 4.

La fel se rationeaza si daca x=2 deoarece y ar trebui sa fie minim 4 si z=8.In concluzie nu avem decat solutia x=y=z=0.
Experimentat (2.3k puncte)
0 0

Mai putem face asa

 Rescriem ecuaţia astfel:

(x+ y+ z3)/(x2 + y2 + z2) = 18n/7n , si consideram n=2.

,atunci 

x+ y+ z3=36

x2 + y2 + z2=14

Retinem ideea ca x nu e mai mare ca 3. Pe 0 nu-l consider nr. natural.

  Atunci, luand in considerare ca x min.e 1 si x max e 3, y+ z3 poate fi cuprins intre 8 si 27, iar y2 + z2 intre 5 si 8 inclusiv. Alegem valorile care pot fi formate dintr-o suma de 2 cuburi, respectiv 2 patrate si vom avea 

y+ z=9=1+ 23  ; y2 + z2=5 =1+2 cu solutiile  y=1,z=2 ; y=2,.z=1 si 

x=3

Punand apoi pe rand conditia ca y, z sa fie mai mic sau egal cu 3, se obtin toate permutarile tripletei (1,2,3) care constitue solutiile .

Ramane de dicutat daca-l luam in considerare si pe 0 ...vor fi mai multe cazuri de analizat, dar concluzia va fi, cred,  aceeasi.

 

 

 

0 0
M-am grabit si nu am facut calculele corect ,intradevar e solutia 1 2 si 3
1 plus 0 minusuri
Rescriem egalitatea în forma x^2*(7x - 18) + y^2*(7y-18) + z^2(7z-18)=0, și vedem că fiecare din cei trei termeni din stg este de forma t^2(7t-18). Analizând restricția pe N a funcției f(t) având forma de mai sus, vedem că ea este negativă și strict descrescătoare când t e din {0,1,2} și pozitivă și strict crescătoare în rest. Avem, prin urmare, minf=f(2)= -16 și cea mai mică valoare (strict) pozitivă a ei este f(3)=27. În afara cazului în care toți cei trei termeni sunt nuli (aceasta conducând la soluția banală x=y=z=0) e clar că trebuie să fie negativ cel puțin un termen din egalitate, dar nu mai mult doi. Doar unul negativ este imposibil, întrucât ceilalți doi, însumaţi, ar fi minim 27 şi totalul nu poate fi nul (cel negativ nefiind mai mic de -16). Dacă doi ar fi negativi, suma lor n-ar fi mai mică de -32 şi atunci cel pozitiv nu poate fi mai mare de 32 şi acestuia nu i-ar rămâne decât valoarea 27, corespunzând unei necunoscute egale cu 3 (celelalte două fiind din mulţimea {0,1,2}). În acest caz, cum o a doua necunoscută trebuie să fie tot impară (obs. lui Puiu), ea trebuie să ia valoarea 1 şi apoi găsim uşor şi pe a treia că este 2. Sunt soluţii toate permutările tripletei (1,2,3) (obs. lui Puiu).
Junior (971 puncte)
editat de
0 0
Notând cei trei termeni cu majusculele X, Y, Z ajungem la X+Y+Z=0, ecuația unui preafrumos plan. Posibile speculații? :D
...