Paradoxul zarurilor

Question

Avem trei zaruri: A, B, C. Forma lor e de zar obișnuit, cubic, dar în timp ce un zar normal are desenate pe fețe 1, 2, 3, 4, 5, 6 buline, zarurile noastre sînt după cum urmează:

- zarul A are 3, 3, 3, 3, 3, 6 buline,
- zarul B are 2, 2, 2, 5, 5, 5 buline,
- zarul C are 1, 4, 4, 4, 4, 4 buline.

Doi jucători au fiecare cîte un zar dintre A, B și C. Aruncă zarul amîndoi, iar jucătorul al cărui zar are mai multe buline pe fața de sus primește un punct. Aruncările se repetă de un număr mare de ori și punctele se adună. Jocul e cîștigat de jucătorul care are cele mai multe puncte, adică de jucătorul care avea de la bun început cele mai mari șanse să cîștige.

Ce zar trebuie să aibă un jucător pentru a cîștiga?

Comments

E de remarcat ca daca apelam la medie cele 3 zaruri ofera aceeasi valoare.

In schimb daca facem media patratica vom avea alt reper.Mai exact valorile ar fi Zarul A si C au aceeasi medie de sqrt(81/6) in timp ce zarul B mai mare de sqrt(87/6).Deci zarul B ofera cele mai mari sanse de castig.pe ideea aceasta ,totusi media nu inseamna si probabilitate ,de aceea este importanta in teoria probabilitatilor notiunea de dispersie.Dispersia este abaterea fata de medie a evenimentelor.O dispersie mare inseamna sanse mai mici.Astfel modul de rezolvare a lui Gheorghita este cel mai corect.

---

E foarte frumoasă problema și foarte interesantă concluzia. Mi se pare de-a dreptul fascinantă această netranzitivitate.

Answer 1

Datorita conditiilor meteo ne apucam de calculat probabilitatile de victorie in cazurile A-B, A-C si B-C.
1. A-B: A cistiga daca da 3 (probabilitate 5/6) si B da 2 (p =1/2) sau A da 6 (1/6) si B orice zar. Deci probabiliatea de cistig al lui A este p = (5/6)×1/2 +1/6 = 7/12 deci B ar avea 5/12 sanse de victorie. Pentru un numar mare de aruncari A ar cistiga.
2. A-C: A are p= (5/6)×1/6 + 1/6 = 11/36 deci sansele lui C sint de 25/36, C ar cistiga.
3. B-C: sansele lui B sint de (1/2)×1/6 + 1/2 = 7/12. B ar cistiga in fata lui C.
In concluzie A bate B, B bate C si C bate A.
Pentru a invinge un jucator trebuie sa-si aleaga zarul in functie de zarul adversarului: daca acesta are A alege C, daca are B alege A si daca are C alege B.

Comments

Foarte bun răspuns! (La cazul 2 apăruseră niște B-uri din... senin, dar le-ați corectat.)

Așadar relația dintre zarurile A, B și C nu este tranzitivă. Dacă A îl bate pe B și B îl bate pe C am putea crede că A îl bate pe C. Dar, paradoxal, nu se întîmplă așa.