Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.3k comentarii

2.5k utilizatori

0 plusuri 0 minusuri
316 vizualizari
Să zicem că avem o colecție mare de numere care reprezintă mărimi foarte diverse distribuite pe multe ordine de mărime, de exemplu prețuri de la foarte mici la foarte mari, lungimi de drumuri mai scurte sau mai lungi, recolte agricole de la mici producători la mari ferme, tensiuni electrice de tot felul, constante matematice și fizice etc.

Ne uităm la aceste numere și luăm numai prima cifră semnificativă din fiecare (dintr-un număr ca 0,02 prima cifră semnificativă e 2). Obținem astfel o anumită distribuție a cifrelor de la 1 la 9. Diversitatea colecției noastre de mărimi e așa mare încît și dacă le schimbăm unitățile de măsură pînă la urmă distribuția celor 9 cifre rămîne aceeași.

Observăm un lucru interesant. Ne-am aștepta, de exemplu, ca numerele care încep cu cifra 1 să fie circa 1/9 din total, adică vreo 11%. Dar de fapt constatăm că ele reprezintă circa 30%. Cele care încep cu cifra 2 reprezintă vreo 18% și așa mai departe, pînă la cele care încep cu un 9 și reprezintă sub 5%.

Fenomenul a fost observat acum cîteva secole, cînd pentru calcule cu înmulțiri se foloseau tabele cu logaritmi. Calculatorii au remarcat că paginile de la începutul cărților cu tabele de logaritmi se uzau mai repede decît cele de la sfîrșit, pentru că se întîmpla mai des să caute logaritmii numerelor care încep cu 1 sau 2 decît ai celor care încep cu 8 sau 9.

Apoi fenomenul a fost redescoperit cînd cineva a observat că în ziare sînt mai multe numere care încep cu 1 decît cele care încep cu 9 (a exclus numerele cu distribuții înguste, de exemplu anii).

Întrebarea este: de ce cifrele mai mici sînt mai bine reprezentate decît cele mari? Și care ar fi formula cu care putem calcula aceste fracțiuni? Formula ne-ar putea chiar ajuta să generalizăm: care e fracțiunea numerelor care încep, de exemplu, cu cifrele 27 sau 608?
Expert (12.8k puncte) in categoria Matematica
0 0
Personal am localizat pe internet o serie de explicatii pe tema data de dvs. Nu dau nume de oameni de stiinta, pentru ca banuiesc ca doriti sa primiti raspunsuri complet originale. Dar mie mi-a fost greu, chiar si asa, avand toate "datele" la dispozitie, sa gasesc o explicatie lamuritoare a fenomenului, unul contraintuitiv si foarte interesant, de altfel.

De-abia astept raspunsurile ce vor veni, de-abia astept sa ma lamuresc!
0 0
Întrebarea e mai mult un fel de „Știați că?”, dar cu o oarece contribuție din partea celui care răspunde. De-asta nu am evitat să las tot felul de indicii în ce-am scris: logaritmi, ordine de mărime, unități de măsură etc.
0 0
Nu sunt nici eu în măsură să abordez dpdv cantitativ problema, îmi permit doar o remarcă (sau presupunere mai bine) de ordin calitativ - dacă ai condițiile inițiale și legea (eventual și domeniul maxim de aplicabilitate), restul e deductibil, adică e suficient să zici 1, 2 și apoi etc., deci frecvență mare pt. numere (cifre) mai mici. Dar un răspuns pertinent ar fi cu adevărat interesant...

1 Raspuns

0 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Mi-ar părea rău ca acest fenomen să rămână nediscutat, așa că încep împărtășindu-vă ce am descoperit pe tema propusă de AdiJapan și sper să urmeze o serie de discuții interesante, pentru că, așa cum am spus și mai sus, pentru mine fenomenul rămâne unul contraintuitiv și insuficient explicat, cel puțin la nivel de popularizare, de cei care s-au ocupat de asta.

 

 

Există o așa-numită ”lege a lui Benford” care descrie distribuția primelor cifre în aceste seturi de numere care apar în natură și care sunt distribuite pe multe ordine de mărime. Benford se pare că este al doilea pământean care a observat fenomenul, primul fiind un astronom pe nume Newcomb, dar ale cărui observații, cum se întâmplă nu de puține ori, nu au fost băgate prea tare în seamă.

 

 

Legea lui Benford spune că probabilitatea de apariție, într-un asemenea set de numere a cifrei n pe prima poziție a numerelor membre ale setului este egală cu P(n)=log(n+1) - log(n)=log(1+1/n). Dacă am reținut corect din cele citite, formula poate fi generalizată și pentru primele mai multe cifre din numerele din set (ceva de genul P(27)=log(1+1/27)).

 

 

Încercând să înțeleg câteva din multele demonstrații care au fost formulate de-a lungul timpului pentru această lege, am reușit să pricep că anumite fenomene ori procese, precum evoluția în timp a populațiilor ori evoluția în timp a sumelor din conturile bancare (ori alte chestiuni legate de finanțe, bursă etc.), fenomene care au în spate evoluții în timp descrise de funcții matematice de un anumit tip, generează seturi de numere care respectă legea lui Benford. Asta e destul de ușor de înțeles, așa cum se poate vedea și într-un filmuleț postat mai jos.

 

 

Am mai dat și peste un alt tip de demonstrație parțială a fenomenului, care se folosește de ceea ce a menționat și AdiJapan, așa-numita ”invarianță la scara de măsurare” („scale invariance” în engleză, cu scuzele de rigoare dacă în literatura de specialitate din limba română conceptul e tradus altfel). Ideea e că plecând de la presupunerea că o anumită distribuție a primei cifre a numerelor dintr-un set de numere se păstrează la schimbarea unităților de măsură, atunci este nevoie ca distribuția acestor prime cifre să fie una logaritmică, adică exact cea descrisă de legea lui Benford.

 

 

Majoritatea ideilor scrise de mine mai sus sunt prezentate în acest filmuleț pe Youtube:

 

 

 

 

Și mai interesant este faptul că acest fenomen este deja folosit pentru a detecta fraude fiscale ori electorale, prin analiza respectării distribuției de tip Benford în anumite seturi de numere.

 

 

Pentru mine rămâne mult de discutat pe tema dată, mai ales pentru că distribuția Benford, dacă poate fi numită astfel, a fost verificată pentru seturi de numere dintre cele mai diverse, care nu pot fi încadrate în categorii de fenomene precum cele despre care am pomenit mai sus: lungimile râurilor, suprafețele țărilor, distanțele până la anumite tipuri de stele etc.

 

 

Până și dimensiunile fișierelor de pe computerele fiecăruia dintre noi respectă această distribuție (apropos, un progrămel care să facă calculele în acest sens ar fi foarte interesant, sper să am timp să mă ocup de așa ceva zilele următoare)...

 

 

Deci, în caz că cele scrise de mine v-au atras atenția, vă invit să vă dați cu părerea. De unde distribuția aceasta a primelor cifre în anumite seturi de numere? Aveți o explicație proprie riguroasă?

Senior (7.3k puncte)
editat de
0 0
Excelent.

Esența în chestiunea de față este cum arată distribuția unor astfel de colecții de numere. Care e densitatea de probabilitate?

Iar răspunsul este că astfel de colecții de numere sînt astfel distribuite încît avem la fel de multe în fiecare ordin de mărime (mai puțin la extreme, unde de regulă numerele se răresc). Altfel spus, avem la fel de multe numere între 1 și 10 ca între 10 și 100, între 100 și 1000 etc. Asta înseamnă că numerele nu sînt distribuite uniform, altfel am avea între 999 și 1000 la fel de multe numere ca între 1 și 2, or experiența ne contrazice.

De exemplu, o rețetă de murături ne va spune că trebuie să folosim 10 sau 15 sau 20 de litri de apă, dar nu va fi așa pretențioasă încît să spună precis că trebuie 1000 sau 1005 sau 1010 de grame de sare. Diferențele relative sînt de 5 (litri sau grame, respectiv), dar ele contează mult dacă le considerăm față de 10 și puțin dacă le considerăm față de 1000.

Deci numerele din viața noastră nu sînt distribuite uniform, ci altfel. Și anume sînt distribuite în așa fel încît logaritmul lor e distribuit uniform. Repetînd ce am spus mai sus, avem la fel de multe numere cu logaritmul între 0 și1 ca numerele cu logaritmul între 1 și 2 sau între 2 și 3 etc. De aceea dacă schimbăm scala sau unitatea de măsură obținem aceeași distribuție: pentru că în logaritmi înmulțirea cu o constantă înseamnă o simplă translație.

De aici nu mai sînt de făcut decît calcule. Așa rezultă formula pe care ați găsit-o.
0 0
Dvs. spuneți că dacă avem la fel de multe numere cu logaritmul între 0 și 1, 1 și 2, 2 și 3 etc. obținem această distribuție a primei cifre. Oare? Explică acest lucru fenomenul? Numerele cu logaritmul între 0 și 1 sunt numerele cuprinse între 1 și 10. Cele cu logaritmul între 1 și 2 sunt cele cuprinse între 10 și 100. Și așa mai departe. Dar aici vorbim de prima cifră a tuturor acestora. Cred că îmi scapă ceva...
0 0
Ce vreau să spun este că valorile pe care le folosim de regulă sînt astfel distribuite încît logaritmul lor e distribuit uniform. (De aici vine și invarianța la schimbarea unităților de măsură, atît la conversii obținute prin înmulțire cu o putere a lui 10 cît și alte conversii, ca între milimetri și țoli.) Dar distribuția uniformă a logaritmului se observă nu numai de la un ordin de mărime la altul, ci și în interiorul unui ordin de mărime, de exemplu în intervalul de la 1 la 10. Această distribuție uniformă a logaritmilor e cea care explică de ce pe prima poziție a numerelor e mai des cifra 1 decît celelalte.
...