Pozitia unui punct

Question

Cum stabilim pozitia unui punct G din planul unui patrat ABCD detinind proprietatea : max (GA, GC) = ( GB + GD ) × 1/sqrt (2)?

Answer 1

Mă uit deocamdată doar la semiplanul limitat de BD care conține punctul C. Pentru punctele din acest semiplan proprietatea cerută de enunț se rescrie astfel:

BG + DG = AG × sqrt(2),

Caut toate punctele din semiplan care respectă condiția asta. În plus, pentru fiecare din ele, punctul simetric față de BD va fi și el soluție a problemei.

Definesc mărimile:

z1 = BG + DG
z2 = AG × sqrt(2).

Sînt soluții acele puncte G pentru care z1 = z2.

Acum calculez z1 și z2 pentru toate punctele din plan. Poziția oricărui punct din semiplan poate fi descrisă în coordonate polare față de O (centrul pătratului) și direcția OC. Mai exact fiecare punct G din plan e total determinat dacă știm distanța OG, pe care o notez cu r, și unghiul COG, pe care îl notez cu a.

Cu aceste notații, aplic teorema lui Pitagora generalizată și calculez lungimile segmentelor BG, DG și AG. Din ele calculez mărimile z1 și z2, care ies sub forma unor radicali urîți, nu-i mai scriu aici. Condiția z1 = z2 este echivalentă cu z1^2 = z2^2 (pentru că z1 și z2 sînt amîndoi pozitivi). Atunci calculez pătratele, care ies așa:

z1^2 = 1 + 2*r^2 + 2*sqrt((1/2+r^2)^2 - 2*r^2*sin(a)^2)
z2^2 = 1 + 2*r^2 + 2*sqrt(2)*r*cos(a)

Îi egalez și iese o ecuație tot cu radicali, așa că mai ridic o dată la pătrat. Iese așa:

z1^4 = z2^4 <=> (1/2+r^2)^2 - 2*r^2*sin(a)^2 = 2*r^2*cos(a)^2

În clipa asta unghiul a iese din joc, pentru că se formează un sin^2+cos^2, ceea ce înseamnă că soluția pe care o voi găsi pentru r este valabilă la toate unghiurile a din semiplan. Mergem mai departe cu ecuația rămasă, care arată așa:

(1/2 + r^2)^2 = 2*r^2

O rezolv și iese o singură soluție: r = sqrt(2)/2.

Deci locul geometric căutat e cercul cu centrul în O și rază sqrt(2)/2, din care păstrăm doar bucata aflată în semiplanul nostru, un semicerc. Dar, cum ziceam la început, simetricele față de BD sînt și ele soluții, atunci rămîne ca întreg cercul să fie soluție.

Comments

Vad ca ati insistat in aflarea unui raspuns care sa fie fara cusur. Ati urmat cam  acelasi drum ca la prima; si pe aceea o consider o solutie corecta (mica scapare de radical o remarcasem,  nesemnificativa pentru ca era dubla).
Doresc sa-mi schitez solutia mea pe care nici bunicul nu a descoperit-o, nici nu ai nevoie de un creion ascutit, nici de trigonometrie ( pt. goguv) :
Dupa cum ati precizat in raspunsuri max (AG, CG) = AG => a sqrt(2) AG = a BG+ a DG (potrivit ipotezei si a - latura patratului) => AG×BD = AD×BG + AB×DG=> ABGD este un patrulater inscriptibil (Ptolemeu - reciproca) => pozitia pe care ati stabilit-o in raspunsuri. Felicitari.

---

Superb. Nu știam de teorema lui Ptolemeu. Ori n-am învățat-o, ori am uitat-o. Oricum, am aflat ceva nou azi. Mulțumesc.

Answer 2

Încep cu concluzia: locul geometric al punctelor G căutate este un cerc concentric cu pătratul și al cărui diametru e diagonala pătratului.

Mai întîi ca să simplific formula (nu-mi place max-ul ăla) consider numai semiplanul determinat de dreapta BD și care conține punctul C. În acest semiplan AG este întotdeauna mai mare decît CG, deci expresia max(AG, CG) este totuna cu AG. Acum proprietatea cerută de problemă se scrie așa:

AG × sqrt(2) = BG + DG

Dacă un punct din acest semiplan este soluție, atunci și simetricul lui față de BD va fi soluție și nu pierd nimic.

Acum urmează puțină magie calculatoristică: într-un program oarecare de desenat grafice de funcții (de data asta am folosit Origin) fac o hartă colorată a punctelor (x, y) din plan, culoarea fiecărui punct depinzînd de valoarea unei mărimi z definită astfel:

z = BG + DG - AG × sqrt(2)

Soluțiile vor fi acele puncte pentru care z = 0.

Observ că în harta mea punctele cu z = 0 se înscriu pe un semicerc, cu centrul în centrul pătratului (îl notez cu O) și de rază egală cu semidiagonala pătratului, cuprins în întregime în semiplanul ales.

Ca să fie riguros matematic, verific că toate punctele G de pe acest semicerc respectă ecuația. Pentru asta iau ca parametru unghiul a dintre OC și OG cu valori între -90° și +90° și calculez lungimile segmentelor AG, BG și DG în funcție de acest unghi. Apoi calculez pe de o parte AG × sqrt(2) și pe de alta BG + DG, ca să verific dacă obțin egalitate. Îmi iese așa:

AG × sqrt(2) = sqrt(1+cos(a)) × sqrt(2)
BG + DG = sqrt(1-sin(a)) + sqrt(1+sin(a))

Nu văd egalitatea, mă încrunt, că trigonometria nu e punctul meu forte, și recurg iarăși la magie calculatoricească: fac graficele celor două funcții (tot în Origin). Constat că se suprapun perfect, trag concluzia că probabil aplicînd niște identități trigonometrice iese că sînt exact egale, îmi mai bat capul o vreme, dar nu iese. O las așa. Dacă poate să demonstreze cineva identitatea riguros, excelent. Pe mine mă depășește manipularea măiastră a formulelor cu sinuși și a cosinuși.

Deci pînă acum locul geometric a ieșit un semicerc. Prin simetria de care vorbeam, adaug și cealaltă jumătate a cercului și obțin un cerc întreg, cel pe care îl anunțam la început.

O observație interesantă: acel z descris mai sus nu scade nicăieri sub 0, deci întotdeauna BG + DG >= AG × sqrt(2).

Comments

Inedit, inteligent si un mod amical, de cafenea, asa percep raspunsul. Din fruntea locului va spun ca ati obtinut rezultatul corect. Dar dupa "Iese cam asa*" formulele  trebuie explicate (pot fi si in neregula in lipsa demonstratiei). Despre ce ati scris mai la vale nu prezint o vorba pentru ca mi-am pus un filtru pentru cuvintele scrise, botnita nu.
Ati lasat aproape totul pe seama unor aplicatii software, nu am nimic impotriva lor, doar ma gindesc ca bunicul nu le avea la indemina si nici pe mine linga el  sa-l ajut. Deci,  multumesc pentru remarcabilul efort.

---

Nu inteleg cum puteti fi atat de lipsita de sensibilitate! :)

Puneti mana frumusel si votati raspunsul lui AdiJapan drept cel mai bun, ca doar nu credeti ca daca apare vreun specialist in trigonometrie o sa iasa ceva mai frumos! :)

---

Stiu ca se poate da si un altfel de raspuns. Va rog sa nu-mi dati sfaturi. Mi se pare ca ma luati in derizoriu si nu ma asteptam de la goguv.

---

Ca să fie clar, eu însumi nu sînt mulțumit de răspunsul meu. E lipsit de rigoare în cel puțin două locuri: 1. Nu am certitudinea că am găsit toate punctele G. Pot demonstra că ele nu se pot afla prea departe de cercul găsit, pentru că z începe să ia valori departe de zero, dar nu știu dacă nu mai sînt și alte G-uri prin apropiere. 2. Identitatea celor două expresii trigonometrice de la final mi se pare foarte probabilă, dar mi-a rămas nedemonstrată.

Pe de altă parte nu poate fi adevărat că am lăsat „aproape totul” pe seama calculatorului. Nimic din gîndirea necesară pentru rezolvare n-a fost făcut de calculator. L-am folosit doar în loc de a face calcule de mînă, care probabil mi-ar fi luat ani de zile (de fapt și mai probabil aș fi renunțat pe loc). Eu i-am spus ce socoteli să facă, iar el le-a făcut. N-a luat nici o decizie, n-a făcut nici un raționament și nici o interpretare, n-a tras nici o concluzie, n-a învățat nimic din toată treaba. Nici măcar n-am folosit o aplicație din cele care fac calcule cu formule (de exemplu rezolvări de ecuații sau derivări sau integrări).

Pentru cele două formule trigonometrice am folosit formula lui Pitagora generalizată, nimic sofisticat. PS: Între timp le-am corectat: erau cu un factor de sqrt(2) mai mici decît trebuia.

Mă gîndesc în continuare la o soluție.

Goguv, aș prefera ca răspunsul meu să nu fie selectat – Adam, alege-ți și tu o femeie, spuse Dumnezeu arătînd spre Eva –, pe de o parte pentru că răspunsul încă nu e destul de bun, iar pe de alta pentru că ar descuraja alte încercări.

---

Între timp am reușit să demonstrez identitatea trigonometrică. Notez:

z1 = BG + DG = sqrt(1-sin(a)) + sqrt(1+sin(a))
z2 = AG × sqrt(2) = sqrt(1+cos(a)) × sqrt(2)

Atît z1 cît și z2 sînt strict pozitivi, deci sînt egali dacă și numai dacă pătratele lor sînt egale. Îi ridic pe amîndoi la pătrat și găsesc:

z1^2 = 2 + 2*cos(a)
z2^2 = 2 + 2*cos(a)

Ca urmare, toate punctele de pe semicercul acela (și prin simetrizare tot cercul) sînt soluții.

Mai rămîne să demonstrez că alte soluții nu există.

---

Gata, am rezolvat-o toată, ca pe vremea bunicului, numai din creion, fără a mai recurge la calculator. Urmează să scriu noua rezolvare separat.