Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

1 plus 0 minusuri
597 vizualizari

Ești la mare și te afli în apă în punctul A, la o distanță a de linia dreaptă a țărmului. Copilul tău se joacă în punctul B de pe linia țărmului, la o distanță b față de punctul C care e piciorul perpendicularei de la tine pe linia țărmului. La un moment dat observi că cineva îți necăjește copilul și vrei să ajungi la el într-un timp cît mai scurt. Știi că poți înota cu viteza v1, care este mai mică decît viteza v2 cu care poți alerga pe plajă. Ca urmare te hotărăști să înoți pînă la un punct P de pe linia țărmului, între C și B, și apoi să alergi spre copil pe plajă.

Știind valoarea tuturor celor patru parametri – a, b, v1, v2 –, cum alegi punctul P?

Expert (12.9k puncte) in categoria Fizica

1 Raspuns

0 plusuri 0 minusuri
Dupa mintea mea trebuie calculat minimul expresiei  AP/v1 + BP/v2. Considerind PC drept variabila si inlocuind-o in expresia de mai sus reiese ca trebuie cautat minimul expresiei sqrt (a^2+x^2)/v1 + (b-x)/v2. Derivind obtinem ca trebuie ochit P astfel incit PC = a × v1/sqrt (v1^2-v2^2).
Ma cam mira ca nu-l vad si pe b, posibil sa fi gresit complet traseul. Nu ma luati in seama in aceasta situatie.
Senior (5.0k puncte)
0 0

Partea cu derivarea ați rezolvat-o superb și pot să vă spun că ați obținut rezultatul corect. Apoi ați observat că b nu intră în formula finală – o observație excelentă! – și v-ați oprit.

Faptul că b nu intră în formula finală (din cauză că a dispărut la derivare) înseamnă că, oricît de departe ar fi punctul B pe linia țărmului, locul ieșirii din apă e același.

Indiciu: ce se întîmplă dacă B este mai aproape de C decît P-ul calculat? Trebuie și atunci să înoți pînă la P și apoi să alergi înapoi pînă la B?

0 0
Pentru a tine cont si de b si pentru ca devenisem confuza am schimbat variabila din PC in BP. Dupa cam aceleasi calcule am obtinut BP = | b - av1/sqrt(v2^2-v1^2) | solutie care cuprinde si situatia hilara pe care ati prezentat-o.
0 0
Tinand cont ca v1 e mai mic decat v2, ar trebui sa fie v2^2-v1^2 sub radical, in prima solutie. Nu?

In al doilea caz, credeti ca timpul cel mai scurt corespunde la o iesire din apa in alt punct decat B?
0 0
Aveti dreptate. Realizasem acest fapt dar eroarea pentru mine este fara semnificatie, este doar o ametire a indecsilor. Dar in comentariul adaugat am corectat.
0 0
Ambele soluții sînt de fapt una și aceeași, doar cu variabila schimbată. (Din punctul de vedere al calculului a doua este puțin mai muncitorească.)

Dar ambele conțin o scăpare. N-ați ținut cont că distanțele parcurse nu pot fi decît numere reale pozitive. Nu are sens, fizic vorbind, să parcurgi o distanță negativă. Cînd ați făcut calculul trebuia să apară undeva pe hîrtie că soluția pe care o obțineți este valabilă numai dacă rezultatul iese între anumite limite.

Concret, în varianta cu variabila x = PC, trebuia ca la începutul calculului să notați că b - x ≥ 0, pentru că numai atunci formula pentru timp e corectă. Ca urmare, dacă din formula finală iese un x mai mare decît b, acel x nu este bun de soluție. (În plus în același calcul mai apare și condiția că x ≥ 0, necesară cînd faceți o ridicare la pătrat a întregii ecuații.)

La fel, în varianta cu variabila y = PB, prina formulă pe care o scrieți, cea a timpului, e valabilă doar cu precizarea că y ≥ 0, o condiție echivalentă cu b - x ≥ 0. (Pe parcurs mai iese și condiția b - y ≥ 0, tot cu ocazia unei ridicări la pătrat.)

În formula finală de la varianta a doua ați pus un modul. Nu e corect. Expresia din modul trebuie să iasă pozitivă, altfel nu e bună, iar modulul adăugat doar maschează o eroare. Formula trebuie lăsată fără modul și în plus trebuie pusă condiția că soluția e bună numai dacă iese y ≥ 0.

Dar ce se întîmplă dacă x > b sau y < 0? Atunci timpul minim se obține înotînd de la A la B. Pentru orice alt punct P de pe linia țărmului, timpul de înot pe distanța AP plus timpul de alergat pe distanța PB iese mai lung decît timpul de înot pe distanța AB.

Problema de față este o variantă simplificată a unei vechi probleme de optică: refracția luminii. Propagarea luminii se produce în așa fel încît timpul de propagare să fie minim (sau maxim sau staționar, în funcție de configurație). Problema nesimplificată ar suna așa: se dau punctul A din mare și punctul B de pe uscat (nu pe linia țărmului) și se cere punctul P de pe țărm pentru care timpul AP plus timpul PB este minim. Dacă picioarele perpendicularelor din A și B pe linia țărmului coincid problema e banală, dar altfel e destul de grea. Soluția e acel punct care respectă formula lui Snellius pentru refracție.
0 0
Mda, nu am fost atenta in totalitate, de altfel si mircea_p a remarcat dar nu a oferit si o solutie. Partea buna este ca am exersat derivarea cit pentru un an.
1 0
Pai asta era solutia: Daca unghiul dintre AB si normala la tarm este mai mare decat "unghiul critic",parintele inoata direct spre copil. Nu am incercat sa o rezolv explicit, geometric de aceea nici nu am postat o solutie explicita.

Problema e o ilustrare a principiului drumului minim aplicat in optica la refractia luminii. De obicei problema e formulata cu cele doua puncte (A si B) la o anumita distanta de linia tarmului. Varianta lui Adi, care ilustreaza reflexia interna totala a fost inedita pentru mine si cu atat mai interesanta.:)
...