Ambele soluții sînt de fapt una și aceeași, doar cu variabila schimbată. (Din punctul de vedere al calculului a doua este puțin mai muncitorească.)
Dar ambele conțin o scăpare. N-ați ținut cont că distanțele parcurse nu pot fi decît numere reale pozitive. Nu are sens, fizic vorbind, să parcurgi o distanță negativă. Cînd ați făcut calculul trebuia să apară undeva pe hîrtie că soluția pe care o obțineți este valabilă numai dacă rezultatul iese între anumite limite.
Concret, în varianta cu variabila x = PC, trebuia ca la începutul calculului să notați că b - x ≥ 0, pentru că numai atunci formula pentru timp e corectă. Ca urmare, dacă din formula finală iese un x mai mare decît b, acel x nu este bun de soluție. (În plus în același calcul mai apare și condiția că x ≥ 0, necesară cînd faceți o ridicare la pătrat a întregii ecuații.)
La fel, în varianta cu variabila y = PB, prina formulă pe care o scrieți, cea a timpului, e valabilă doar cu precizarea că y ≥ 0, o condiție echivalentă cu b - x ≥ 0. (Pe parcurs mai iese și condiția b - y ≥ 0, tot cu ocazia unei ridicări la pătrat.)
În formula finală de la varianta a doua ați pus un modul. Nu e corect. Expresia din modul trebuie să iasă pozitivă, altfel nu e bună, iar modulul adăugat doar maschează o eroare. Formula trebuie lăsată fără modul și în plus trebuie pusă condiția că soluția e bună numai dacă iese y ≥ 0.
Dar ce se întîmplă dacă x > b sau y < 0? Atunci timpul minim se obține înotînd de la A la B. Pentru orice alt punct P de pe linia țărmului, timpul de înot pe distanța AP plus timpul de alergat pe distanța PB iese mai lung decît timpul de înot pe distanța AB.
Problema de față este o variantă simplificată a unei vechi probleme de optică: refracția luminii. Propagarea luminii se produce în așa fel încît timpul de propagare să fie minim (sau maxim sau staționar, în funcție de configurație). Problema nesimplificată ar suna așa: se dau punctul A din mare și punctul B de pe uscat (nu pe linia țărmului) și se cere punctul P de pe țărm pentru care timpul AP plus timpul PB este minim. Dacă picioarele perpendicularelor din A și B pe linia țărmului coincid problema e banală, dar altfel e destul de grea. Soluția e acel punct care respectă formula lui Snellius pentru refracție.