Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
2.7k vizualizari

Care este numărul minim de triunghiuri echilaterale cu latura de 1 care pot acoperi un pătrat de latură 1 ?

Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica
0 0
"Plăcile" triunghiulare de acoperire trebuie să fie situate în întregime în interiorul pătratului (aceasta ducând şi la suprapuneri) sau pot "ieşi" şi în afara pătratului (dar să nu aibă loc suprapuneri)? Cum se face?
0 0
Cum doriti, dar se cere un numar minim.
0 0
E voie ca triunghiurile să se suprapună între ele?
0 0
Este  voie.
0 0
Hm... Cu patru triunghiuri pătratul poate fi acoperit, dar asta e banal. Interesant ar fi dacă se poate cu trei triunghiuri, dar nu văd cum. Avem voie să tăiem triunghiurile în bucățele? Mai puțin de trei triunghiuri e imposibil inclusiv dacă e voie cu tăieturi, pentru că nu mai ajunge aria.
1 0
De fapt aici e problema. Ca arie ar fi suficiente 3 triunghiuri. Ca asezare nu par sa ajunga 3. Ar trebui deci demonstrat in limbaj matematic ca numarul minim de triunghiuri este de 4, sau ca 3 nu sunt suficiente.

Ceea ce eu nu gasesc e tocmai limbajul matematic adecvat prin care sa redactez solutia.

Nu cred ca e voie sa taiem triunghiurile in bucatele, ipoteza cere triunghiuri echilaterale de latura egala cu unitatea.
1 0
Am un început de idee, dar nu reușesc să-l dezvolt. Ideea e să nu ne uităm la tot pătratul, ci doar la niște zone mici din vecinătatea vîrfurilor, pe care le-aș numi „critice”. Forma lor nu contează foarte mult, ar putea fi de exemplu în formă de sfert de disc, așa cum sînt marcajele de lovitură de colț pe terenul de fotbal. Pentru ca triunghiurile să acopere pătratul, o condiție necesară (nu și suficientă) este ca ele să acopere acele zone critice. Concluzia mea de pînă acum este că oricum am așeza trei triunghiuri, ele nu pot acoperi integral zonele critice. Simt că trebuie să împart toate posibilitățile de așezare în cîteva cazuri, dar încă n-am reușit să cuprind totul.
1 0
Și eu leg numărul de colțuri ale pătratului de numărul minim de triunghiuri necesare. Deasemenea, cred că e important că unghiurile pătratului sunt mai mari decât ale triunghiului, ceea ce, pentru economie de triunghiuri, ar impune ca un colț de pătrat să cadă în interiorul unui triunghi, situație în care doar 3 triunghiuri sunt insuficiente.

Dar, așa cum spuneți, sunt mai multe tipuri de situații de analizat și nu sunt atât de dumirit încât să le pot acoperi complet într-o explicație decentă matematic.

E foarte probabil că principala cauză e nivelul scăzut al cunoștințelor mele în materie de topologie
0 0
Poate ar fi o cale convenabilă să lucrăm, într-o primă fază, în loc de triunghiuri echilaterale de latură 1, cu cercuri circumscrise acestora (ca să găsim și acel limbaj matematic de care s-a vorbit). Dacă arătăm că x cercuri nu sunt de ajuns, atunci, evident, nici x triunghiuri nu vor fi. Să nu cumva să fie nevoie și o înlocuire cu cercuri înscrise! Dacă cel mult y cercuri înscrise sunt de ajuns atunci cu siguranță nu vor fi necesare mai mult de y triunghiuri (de fapt facem niște majorări și/sau micșorări). Presimt că pe-aici s-ar găsi demonstrația, dar îmi lipsește acum tragerea de inimă...
0 0
Bzn Radu, ca principiu spuneți bine, dar în cazul acesta concret nu merge. Sînt suficiente nu trei, ci chiar numai două cercuri circumscrise pentru a acoperi pătratul. Ca urmare, cu metoda aceasta putem demonstra doar că un triunghi nu e de ajuns, ceea ce știam deja.
0 0
$ Puiu: nu credeti ca se poate gasi o solutie folosind geometria elementara?
$ AdiJapan: observatii bune.
$ Bzn Radu: checkmate.
0 0
@Gheorghița. Nu văd cum s-ar putea demonstra cu mijloace elementare că 3 triunghiuri nu sunt suficiente. Problema e din categoria celor cu răspuns simplu dar cu demonstrație dificilă.
1 0
Ma gandesc ca s-ar putea calcula maximul din perimetrul patratului pe care-l poate acoperi un triunghi ABC, adica ceva de genul max( PQ+PR), unde P apartine laturii BC, Q lui AB, R lui AC si PQ perpendicular pe PR.Pe de alta parte, pentru ca 3 triunghiuri sa poata acoperi cele 4 varfuri ale patratului ar fi  necesar ca cel putin un triunghi sa contina 2 varfuri ale patratului, ceea ce inseamna ca o latura a patratului va fi si o latura a unui triunghi , deci ramane ca celelalte 2 triunghiuri sa acopere restul perimetrului , ar trebui ca 2max(PQ+PR) sa fie mai mic ca 3.

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

I-am dat în sfîrșit de cap. Probabil nu e soluția cea mai simplă și cea mai elegantă posibil, dar sînt destul de sigur că e corectă.

Pentru ca triunghiurile să acopere pătratul, ele trebuie să-i acopere și punctele de pe toate laturile. Voi demonstra că 3 triunghiuri nu sînt suficiente pentru a acoperi întregul perimetru.

Cazul 1. Cel puțin unul din triunghiuri e așezat cu o latură coincidentă cu una a pătratului. Atunci acest triunghi nu mai poate acoperi nici un alt punct de pe perimetrul pătratului, pentru că are numai două poziții posibile – una cu al treilea vîrf spre interiorul pătratului și cealaltă cu el în afară – și în nici una din poziții triunghiul nu mai atinge alt punct al perimetrului. Acum celelalte două triunghiuri trebuie să acopere restul laturilor, dar nu sînt suficiente, pentru că un triunghi nu poate acoperi o latură și jumătate a pătratului. Asta se întîmplă pentru că o latură și jumătate formează un triunghi dreptunghic cu o catetă de 1 și una de 1/2, deci ipotenuza este de √5/2 > 1 și nu încape într-un triunghi echilateral de latură 1. (Un alt rezultat interesant, pe care însă nu-l folosesc aici, este că un triunghi poate acoperi din perimetrul pătratului cel mult o lungime egală cu √2.) Ca urmare, dacă un triunghi are o latură coincidentă cu una a pătratului, atunci trei triunghiuri nu sînt suficiente pentru a acoperi pătratul.

Cazul 2. Nici un triunghi nu are o latură coincidentă cu o latură a pătratului. Atunci nici un triunghi nu poate acoperi simultan două vîrfuri ale pătratului, ci cel mult unul. Dar avem trei triunghiuri și patru vîrfuri, deci cel puțin un vîrf rămîne neacoperit.

Astfel am trecut în revistă toate cazurile posibile, n-a mai rămas nimic neîncercat. Trei triunghiuri nu au cum să acopere perimetrul pătratului, deci nici pătratul întreg.

Rămîne atunci ca numărul minim necesar de triunghiuri să fie 4, în aranjamentul în care fiecare triunghi are o latură coincidentă cu una din laturile pătratului, iar al treilea vîrf e spre interiorul pătratului.

(Ideea e o combinație între încercarea mea inițială cu zonele critice de la colțuri și sugestia cu perimetrul primită de la Livia Felea, căreia îi mulțumesc. Într-o variantă preliminară a soluției am încercat în cazul 2 să acopăr cu trei triunghiuri 8 puncte de pe perimetrul pătratului, și anume vîrfurile și mijloacele laturilor, dar pe drum mi s-a simplificat.)

Expert (12.9k puncte)
0 0
Ma gindisem sa fac un parastas pentru intrebare sau sa-mi dau propriul meu raspuns la implinirea a doi ani, dar nu mai exista aceasta situatie. Foarte frumos, pe gustul matematicii care imi place. Dupa aceasta solutie nu se poate spune: intrebare simpla - problema dificila -  solutie simpla? Felicitarile mele.
0 0
Speranța moare ultima. Mulțumesc.
...