Patru puncte coplanare

Question

Pe langa faptul ca sunt coplanare, distanta dintre oricare doua este cuprinsa in intervalul [n; n.sqrt(2)], n real strict pozitiv. Precizati natura patrulaterului format de cele 4 puncte.

Answer 1

Consideram un patrulater oarecare.Distanta maxima intre doua puncte este diagonala mare.Pentru ca diagonala mare sa fie egala cu n*sqrt(2) trebuie sa avem un unghi de 90 grade intre doua laturi de lungime n deci avem trei puncte care formeaza un triunghi dreptunghic.Al patrulea punct trebuie situat astfel incat celelalte doua laturi sa nu fie mai mici decat n.Daca unghiul opus unghiului drept este mai mare de 90 grade atunci una din cele doua laturi este mai mica decat n.Daca unghiul opus unghiului drept este mai mic de 90 grade atunci cealalta diagonala este mai mare decat n*sqrt(2).In concluzie unghiul opus unghiului drept este tot un unghi drept construit din doua laturi de lungime n iar patrulaterul este un patrat de latura n.

Comments

te ai complicat putin cu explicatia.O idee mai simpla e asa.Daca luam un patrulater oarecare in care unghiurile nu sunt egale atunci unul din unghiuri e obtuz.In triunghiul format de diagonala si unghiul obtuz se deduce imediat ca diagonala depaseste nsqrt2 .Deci contradictie si unghiurile sunt egale si imediat rezulta si laturile egale ,deci patrat.

---

@zec: q.e.d.