Desenăm o elipsă

Question

Pe o hîrtie trasez două drepte perpendiculare una pe alta, să le numim Ox și Oy. Iau o riglă și aleg pe marginea ei trei puncte: A, B, C. Distanța dintre A și B este p, iar distanța dintre B și C este q.

Așez rigla pe hîrtie în așa fel încît punctul A să se afle pe dreapta Ox și punctul B pe dreapta Oy. Marchez pe hîrtie poziția punctului C. Apoi mișc rigla în altă poziție așa încît A să rămînă pe Ox și B pe Oy, și marchez pe hîrtie noua poziție a lui C. Repet procesul și astfel din punctele marcate pe hîrtie construiesc o curbă.

Să se demonstreze că curba astfel obținută este o elipsă și să se precizeze poziția, orientarea și dimensiunile ei.

Answer 1

Punctul C este descris de componentele sale pe ox si oy, adica om si on. X= om = (q/p)*oa , on=y. oa^2 = p^2 - ob^2 si ob= (p/(p+q))*y din triunghiurile ACM si ABO. Obtinem ecuatia unei elipse x*2/q^2 + y^2/(p+q)^2= 1. Elipsa are centrul in O este alungita pe oy si are semiaxele q pe ox si p+q pe oy.

Answer 2

Notand cu a unghiul dintre rigla si axa ox, coordonatele punctului C vor fi

x=q cos(a)

y=q sin(a)+p sin (a)=(p+q) sin(a)

Rezulta

[x/q]^2+[y/(q+p)]^2=1

O elipsa cu semiaxa mare p+q, semiaxa mica q. Axa mare este pe directia axei Y. Si centrul in originea sistemului descris in enunt.

 

Oops. Cand am raspuns eu nu era raspunsul Gheorghitei. Sau poate era dar nu l-am vazut eu. Uneori am tendinta sa nu vad lucruri evidente. :) Sigur ca nu am avut intentia sa reformulez raspunsul ei (sau domniei sale). :)

Comments

Am selectat răspunsul Gheorghiței pentru că a fost dat mai devreme și n-am cine știe ce reproșuri să-i aduc. Dar răspunsul dumneavoastră îmi place mai mult, pentru că e mai explicit și mai ușor de urmărit.

---

Imi pare bine ca va place.:)

 Si mi se pare corect sa alegeti primul raspuns. Daca l-as fi vazut nu ma mai apucam si eu.