Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
591 vizualizari
O problema grea la care pot sa zic ca am o demonstratie dar nu credeam ca o sa ma chinui atata timp cu ea.Sincer am propus-o cu speranta ca poate mai vad si alte demonstratii.Problema e luata din GM la probleme propuse clasa 7-a si ca o curiozitate autoarea este o eleva.

Fie ABCD un trapez AB || CD si O intersectia diagonalelor ,fie d o dreapta care trece prin O neparalela cu bazele , intersecteaza AD si BC in M respectiv N.Sa se arate ca OM e diferit de ON.Se va considera AB<CD.
Experimentat (2.3k puncte) in categoria Matematica
editat de

3 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Triunghiurile AOB și DOC sînt asemenea => AO*DO = OC*OB => A(AOD) = A(BOC) avînd același unghi, A() - arie triunghi
A(AOD) = AD*h1/2, h1- înălțimea dusă din O pe AD
h1 = MO*sinAMO
La fel
A(BOC) = BC*h2/2, h2- înălțimea dusă din O pe BC
h2 = NO*sinBNO
Deci AD*MO*sinAMO = BC*NO*sinBNO. Apelez la reducerea la absurd și presupun MO=NO =>
AD*sin AMO = BC*s‌inBNO. Prelungesc laturile AD și BC pînă se întîlnesc în T.
În triunghiul TMN conform teoriei sinusului sinAMO / TN = sinBNO / TM => AD / BC = TM / TN. Dar AD / BC = TA / TB (teorema lui Thales) => TA  / TB = TM / TN și conform reciprocii teoremei asemenării => MN este paralelă cu AB și CD, apoi trapezul mai devine și isoscel ceea ce contrazice ipoteza unui trapez și a unei drepte oarecare.
Am  considerat AB < CD și punctele M, N interioare laturilor AD, BC. Probabil dacă sînt în prelungirile lor raționamentul este la fel, dar mi s-a acrit de desenat trapeze. Asta nu înseamnă că sînt o acritură, nu-i așa?

 

Experimentat (4.8k puncte)
editat de
0 0

$zec: Văd că mi-ați apreciat răspunsul, dar o concluzie era eronată, ceea ce nu înlătură corectitudinea soluției. Mă mir și eu de onestitatea mea, totodată mă îngrijorează pentru că este un semn de slăbiciune.

$Bzn: MN trece prin O - intersecția diagonalelor, nu se poate M=N=T, iar dacă MN // AD sau BC, nu am avea M sau N. De ce să luăm niște cazuri care nu fac parte din ipoteză?

0 plusuri 0 minusuri
Problema este gresita. Daca trapezul este paralelogram, dreptunghi, patrat......
Junior (817 puncte)
0 0
intradevar ,nici in enunt nu se precizeaza ca o baza e mai mare ca alta.Deci in mod normal o sa consideram doar caz strict de trapez ,adica sa zicem AB<CD
0 0
De eliminat si cazul in care M=N=T (T - punctul notat de Gheorghita in raspunsul pe care l-a dat), nu? Nu par ok nici cazurile in care d ar fi paralela cu BC sau AD. Problema ramane, cred, corecta si daca trapezul ar fi isoscel.
1 plus 0 minusuri
Demonstratia mea e ceva mai simpla .Ducem o paralala PQ prin O la baze P pe AD si Q pe BC.Din asemanarea triunghiurilor APO cu ACD si BQO cu BCD  si din faptul  ca AP/AD=BQ/BC din proportionalitate rezulta ca PO=QO .Fie MN o dreapta neparalela si presupunem prin absurd ca MO=NO atunci MPNQ are diagonalele care se injumatatesc deci rezulta paralelogram deci rezulta MP||NQ contradictie deoarece AD nu e paralel cu BC.

Observatie .Sa consideram E simetricul lui D fata de O si ducem prin E o pralalela la AD care intersecteaza in F BC atunci OF paralela cu AB.

Prelungim FO pana intersecteaza AD in H atunci se arata usor ca F,E,A si H sunt varfurile unui paralelogram deci FO=OH si din problema precedenta rezulta OF paralela cu bazele.
Experimentat (2.3k puncte)
0 0
Simplu și elegant.
...