Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
369 vizualizari

Printre oricare 52 de numere naturale alese după pofta voastră există întotdeauna  două numere cu proprietatea aceasta:  ori suma lor, ori diferența lor se divide  cu 100?

Senior (5.0k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

4 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Numerele naturale sunt împărțite în 100 de clase de echivalență mod 100, adică prin împărțirea la 100 resturile care se pot obține sunt:

 

r0 = 0, r1 = 1, r2 = 2,..., r98 = 98 sau r99 = 99.

 

Fie M mulțimea resturilor, M = {0, 1, 2,..., 98, 99}

Problema se reduce la a demonstra că în orice submulțime cu 52 de elemente a lui M, notată cu M52, există două elemente rși rj astfel încât (r+ rj) = 100. 

1. Facem următoarea partiție pe mulțimea M:

{0}, {1, 99}, {2, 98},...,{49, 51}, {50}.

Am obținut 51 de submulțimi dintre care 49 de dublete. Oricare ar fi M52, pentru a o forma trebuie să luăm cel puțin două resturi care fac parte din același dublet, ceea ce înseamnă că există cel puțin o pereche de resturi astfel încât ri + rj = 100. Deci, oricare ar fi 52 de numere naturale, există cel puțin o pereche (ni, nj) cu proprietatea că (ni + nj) ♦ 0 mod100 (semnul ♦ înseamnă congruent cu...)

 

2.La punctul 1. am demonstrat pentru cazul în care cele 52 de numere aparțin unor clase diferite de echivalență mod100. În cazul în care nu aparțin unor clase diferite de echivalență mod100, în M52 există cel puțin o pereche (ri, rj) astfel încât ri = rj, deci numerele naturale care corespund acestor resturi se află în relația lni - njI ♦ 0 mod100.

Senior (6.6k puncte)
0 0
Felicitări pentru lecția de matematică. Ca un mărunțiș (cuvănt învățat de la un user al acestui site) vreau să vă spun că "tot așa e și a mea", dar ar fi fost prezentată mai simplu.
...