Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
324 vizualizari

Un pătrat de latură 1 conține un poligon convex cu 100 de laturi. Cum arătați că există un triunghi ale cărui vîrfuri sînt vîrfuri și ale poligonului, astfel încît aria sa nu este mai mare de 0.0008?
 

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

0 plusuri 0 minusuri
Ceva e gresit la aceasta problema .Cu aceste valori nu are solutie.

Edit:Deci cum am zis si in comentariu o idee vine in a considera punctele vazute ca intr-o retea de dreptunghiuri.Ducem in fiecare din cele 100 de varfuri cate 2 drepte paralele cu laturile patratului astfel vom avea maxim 200 de drepte distincte care pot forma o retea .Sa remarcam acuma urmatoarele:

-pot fi 2 puncte pe aceeasi dreapta dar nu putem avea 3 coliniare.Daca am avea 3 puncte coliniare atunci poligonul nu poate fi convex.

-care e numarul minim de drepte?

aici trebuie continuat

Deci cum pot fi maxim doar 2 puncte pe aceeasi dreapta putem avea 50 de drepte ca find cel mai mic numar pe verticala si orizontala.Deci numarul minim este 50 daca se includ si laturile patratului.Deci 3 puncte vor fi 3 varfuri ale unui dreptunghi obtinut din descompunerea in 2500 de dreptunghiuri .Evident ca un dreptunghi va avea aria mai mica de 1/2500 si  deci cele 3 varfuri vor determina un triunghi cu aria mai mica de 1/5000 fiind jumatate din aria dreptunghiului adica 0,0002.
Experimentat (2.3k puncte)
editat de
0 plusuri 0 minusuri

Enuntul se refera probabil la un poligon convex regulat cu 100 de laturi inscris intr-un cerc de diametru 1. Raza este R = 0,5, iar unghiul la centru este u = 3,6o. Se aleg doua laturi adiacente si se construieste un triunghi isoscel. Se calculeaza aria triunghiului care este (R sin u) (R - R cos u). Pentru un poligon oarecare se aleg doua laturi adiacente scurte, cele mai scurte. Aria triunghiului format se demonstreaza ca nu poate fi mai mare decat cea calculata pentru cazul poligonului regulat. Demonstratia este alta problema. 

Junior (817 puncte)
0 0
0.0008 este exact jumate din aria unui patrat cu latura de 1/25.Pe aici trebuie comentat eventual sa arati ca nu poti inscrie un poligon  convex cu 100 de laturi intro retea mai mica de 25x25 noduri.Reteaua trebuie sa fie cu drepte perpendiculare.
0 plusuri 0 minusuri
Notez vîrfurile poligonului v1.....v100. Suma (v1v2+v2v3) +(v2v3+v3v4) +...+ (v100v1+v1v2) are 100 de termeni (cei grupați în paranteze) și valoarea ei este de cel mult dublul perimetrului pătratului de latură 1, deci un maximum de 8. Există un un termen în această sumă care este mai mic decît 8/100 = 0.08, în caz contrar s-ar depăși 8. Astfel avem un triunghi (laturi a,b,c) cu proprietatea că suma a două laturi este mai mică de 0.08, dar (a+b ) la pătrat  >= 4(ab) (inegalitatea mediilor) >= 8(absinc)/2=8 *arie(triunghi). Deci  obținem arie(triunghi) <0.08 la pătrat/8. Superbă problemă și scuze pentru tehnoredactarea (acces greu la internet) acestei soluții imbatabile aș cuteza să spun și foarte onorabilă pentru o amatoare de matematică ingenioasă.
Experimentat (4.8k puncte)
0 0
E ok dar ar trebui demonstrat si faptul ca perimetrul poligonului e mai mic decat al patratului lucru care  nu cred ca e tocmai usor.Nu neaparat ce pare evident este chiar asa de evident.Aici trebuie folosita ipoteza de poligon convex.
0 0
Nu m-am gîndit la asta, mi se părea ceva evident pentru că este un poligon convex, dar voi demonstra și asta. Zum teufel și cu prietenie.
...