Suma şi produsul - copyright @AdiJapan

Question

O mică schimbare (litere cursive) în enunţul unei probleme propusă de AdiJapan, căruia îi mulţumesc şi-i cer scuze totodată pentru preluarea neautorizată a textului.
"" Marele Înțelept i-a chemat la el pe Sandu și Petre, doi discipoli foarte pricepuți la logică și matematică, și le-a spus: „M-am gîndit la două numere naturale mai mari ca unu, nu neapărat diferite între ele. Ție, Sandu, îți voi spune suma lor, iar ție, Petre, îți voi spune produsul lor. Apoi va trebui să deduceți care sînt cele două numere.”

Și într-adevăr le-a spus în secret lui Sandu suma și lui Petre produsul. Atunci discipolii au început să se gîndească și a avut loc următorul dialog:

Sandu: „Nu pot deduce care sînt cele două numere.”

Petre: „Nici eu nu le pot deduce.”

Sandu: „Petre nu are cum să determine suma mea.”

Petre: „Am reușit să le deduc.”

Sandu: „Am reușit și eu să le deduc.”

Care sînt numerele la care s-a gîndit Marele Înțelept? "" şi oare au dreptate matematicienii Petre şi Sandu?!

Comments

Soluția diferă de a lui AdiJapan, enunțul este corect.

Answer 1

Am sa incerc o rezolvare doar pentru numerele naturale mai mari ca 1 si formate dintr-o singura cifra.

Sandu nu poate deduce numerele asa ca Petre poate elimina  sumele formate din 2 nr. unice, deci cele mai mici decat 6 si mai mari decat 12. Petre nu poate deduce nr. asa ca Sandu poate elimina produsele formate din 2 nr. unice, deci cele mai mici decat 12 si mai mari decat 36,, produsele de  forma nr.primxnr.prim, produsele care au mai multe solutii insa doar una respecta ipoteza initiala, ca factorii sa fie nr.cuprinse intre 2 si 9,inclusiv,

 Pentru ca nici Sandu nici Petre nu pot deduce nr. Petre poate elimina sumele 6.7 si 9 deoarece nu respecta  conditiile pentru produs. In acest momenr Petre cunoaste produsul si a dedus variantele posibile ale sumei si perechile numere corespunzatoare, Sandu cunoaste suma si a dedus variantele posibile ale produsului si perechile numere corespunzatoare

Situatia are urmatoarea configuratie

            2,6    2,8    2,9    3,8     4,4    4,6     6,6

S           8       10     11     11      8       10     12

P           12       16     18     24     16      24     36

Sandu afirma ca Petre nu poate cunoaste suma sa, deci putem elimina produsele care au solutie unica, 12, 18, 36  si perechile de numere corespunzatoare. Observam ca 4,4 nu poate fi solutie  deoarece prin eliminarea perechii 2,6 ar ramane solutie unica pentru Sandu.

Ramanem cu urmatoarea configuratie

     2,8         4,6       3,8

S    10          10        11

P    16           24       24

Daca produsul ar fi 24 Petre nu ar putea gasi solutia, deci P=16 si el poate afirma ca a dedus numerele cautate,  S-10, are doua solutii posibile, de aceea Sandu  nu a putut  deduce .perechea de numere corecta decat in urma afirmatiei lui Petre.

Aceasta este 2,8.

Comments

Solutia este incorecta. Afirmatia lui S : "P nu poate deduce suma" inseamna ca suma nu se poate descompune, sub nici o forma, in doua numere prime -> suma nu este un numar par. Ori 10 are si (3, 7). Dar mai  bine, pornind de la (2, 8) verificati daca este de necombatut, nu doar posibil, dialogul S-P. Mai mai sa ma convinga solutia data prin corectitudinea aparenta si siguranta de sine pe care o aratati. Multumesc pentru efortul depus.

---

Afirmatia d-voastra cum ca   afirmatia lui S: "P nu poate cunoaste suma mea " inseamna ca suma nu poate fi nicicum descompusa in 2 nr. prime si deci nu poate fi nr. par ,nu este valabila in cazul nr. de o cifra, mai mari ca 1 ( ipoteza mea).Eliminad sumele necorespunzatoare  am ajunge la concluzia ca suma nu poate fi decat 11 , perechile de numere corespunzatoare ar fi 2,9 si 3,8 , cu produsele 18 si 24. P poate afirma ca a dedus numerele  indiferent care ar fi produsul sau . Dar S nu ar avea nici un criteriu sa le deduca. Deci nu se poate aplica in cazul ipotezei mele

Insa., daca admiteti ca afirmatia lui S: "P nu poate cunoaste suma mea " poate sa insemne ca produsul lui P are 2 solutii posibile  atunci cred ca varianta este corecta.

Concret: Presupunem ca varianta mea e corecta, numerele sunt 2,8

Sandu are S=10=2+8=3+7=4+6 =5+5 spune ca nu poate deduce raspunsul

Petre are P=16=2x8=4x4  spune ca nu poate deduce raspunsul

In acest moment Sandu stie ca numerele nu sunt 3,7 si 5,5  pentru ca au produse cu solutie unica si Petre ar fi dedus raspunsul. Deci pentru Sandu raman posibile 2 variante 2,8 si 4,6, nu are deocamdata alte criterii de alegere, nu poate deduce numerele dar stie ca produsul poate fi 16 sau 24. Daca P=16=2x8=4x4 , 2+8=10,4+4+8, daca P=24=3x8=4x6 ,3+8=11,4+6=10,deci indiferent cat ar fi P Petre are 2 variante de raspuns,cu sume diferite, de aceea Sandu nu da o solutie dar poate face afirmatia ca Petre nu poate determina suma sa. Pe de alta parte, Petre stie ca P=16=2x8=4x4. El poate elimina perechea 4,4 folosindu-se , ca si mine in raspunsul meu, de considerentele  referitoare la eliminarea sumelor si produselor, de afirmatia lui Sandu in privinta sumei si de faptul ca acesta nu poate da raspunsul.  Petre ramane cu  varianta 2,8 si afirma ca a dedus numerele. Cum P=24 are 2 solutii pe care Petre nu le-ar fi putut elimina, deci nu ar fi putut deduce numerele, Sandu elimina varianta 4,6 si deduce si el numerele 2,8

---

Cred că nu ne-am înțeles în ceea ce privește enunțul și implicit logica rezolvării. Felcitări.