Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
316 vizualizari

Cu toţii am terminat clasa a 9-a cu o coroniţă pe frunte (conform facebook), dar ne descurcăm cînd trebuie să arătăm că cel puţin unul dintre numerele n, n+1,....., 2n este pătrat perfect, n - număr natural?
 

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica
0 0
Felicitări celor 2 rezolvitori pricepuți între-ale matematicii. Cu prietenie și vă aștept cu soluții la fel de riguroase sau ingenioase la problemele pe care le propun- probleme care-mi plac, mă provoacă și mai ales îmi oferă momentul de a învăța.

2 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri

Trebuie să arătăm că, oricare-ar fi n natural, există un m natural astfel încât 

n <= m2 <= 2n. 

Dar n <= m2 <= 2n  <=>  sqrt(n) <= m <= 2n  (1), adică, oricare-ar fi n natural, există un număr întreg pozitiv m, astfel încât inegalitatea (1) să fie adevărată. Acest lucru e echivalent cu a afirma că f: N -> R, f(n)=sqrt(2n)-sqrt(n) >= 1. Obsrvăm că funcția e strict crescătoare și, ridicând la pătrat ultima inegalitate și rezolvând pentru n, obținem         n > 5,(5) ceea ce, în numere naturale înseamnă că, pentru  orice n>= 6  f(n) > 1, deci  există un întreg pozitiv situat între sqrt(n) și sqrt(2n), adică, ridicând la pătrat, există m2 a.î. n <= m2  <= 2n.

Între 1 și doi nu avem pătrat perfect, iar pentru n = 2, 3, 4 sau 5 pătratele se văd fără să fie nevoie de demonstrații, 

Am căutat o demonstrație cât mai simplă și cât mai intuitivă.

 

 

Senior (6.6k puncte)
0 0
intre 1 si 2 ,1 este patratul perfect.
0 0
Da, așa este. Mulțumesc pentru observație.
1 plus 0 minusuri

Eu am alta idee..Sa presupunem ca n nu este patrat perfect .Atunci n este incadrat de 2 patrate consecutive sa zicem intre k si (k+1)2 in concluzie n se scrie ca k2+m unde m>0.

deci 2n=2k2+2m si e suficient sa ratam ca 2k2​+2m>=(k+1)2  care se scrie k2-2k+2m-1>=0 cu delta 8-8m <=0 pentru m mare sau egal cu 1.

Asta inseamna ca intre n si 2n avem patratul lui k+1.

 

 
Experimentat (2.3k puncte)
...