Facem câteva observații:
În mod evident 3 nu divide 2x deci 3 nu divide z2 deci 3 nu divide z. Atunci z se poate scrie sub forma z = 3a +/- 1 iar z2 va avea forma z2 = M3 + 1, unde M3 înseamnă multiplu de 3. Dacă membrul 2 este congruent cu 1 mod 3 iar, în membrul 1, 3y este congruent cu 0 mod 3, rezultă că 2x e congruent cu 1 mod 3. Din ultima concluzie rezultă că x trebuie să fie par, adică x = 2k. Rescriem ecuația,
(2k)2 - z2 = 3y de unde ( 2k - /z/ )( 2k + /z/ ) = 3y ( /z/ e modul de z ).
Notăm prima paranteză cu 3m și cea de-a doua cu 3n cu m<n și m + n = y și scriem:
2k - /z/ = 3m (1) și 2k + /z/= 3n (2)
Adunăm (1) cu (2) și obținem 2k+1 = 3m( 1 + 3n ). Cum 3 nu divide 2k+1, rezultă că m nu poate fi decât zero, de unde y = n astfel că ultima relație devine
2k+1 = 1 + 3y. (3)
De aici se vede că o soluție este k = 1 și y = 1, adică x = 2 și y = 1 ceea ce conduce la z = +/- 1. O altă soluție este k = 0 și y = 0, adică x = 0 și y= 0 ceea ce conduce la z = 0. 0 altă soluție se vede ușor în ecuația din enunț, aceasta fiind x = 1, y = 0 și z = +/- 1.
Observăm că în cele 5 soluții găsite până acum, avem y = 0 sau y = 1. Să vedem ce se întâmplă cu (3) pentru y >= 2:
În această ipoteză, ținând seama că 3y e totdeauna multiplu de 9, relația va avea forma
2k+1 = 9p + 1, adică 2k+1 este multiplu de 9 plus 1. Observăm că acest lucru se întâmplă de la valoarea minimă a exponentului lui 2, k + 1 = 6, când 26 = 64 = 9*7 + 1 și se va repeta la puteri multipli de 6 ai lui 2. Scriem deci k + 1 = 6q, iar (3) devine
(26)q = 1 + 3y sau (26)q - 1 = 3y. Dar expresia din membrul stâng al ultimei ecuații se poate scrie ca ( 26 - 1 )(...................) ( expresia din a doua paranteză nu are relevanță pentru demonstrație, important e că factorizarea se poate face), ceea ce conduce la
(26 - 1)(...................) = 3y , adică 63*(....................) = 3y. Dar un divizor prim al lui 63 este 7 care, în mod clar, nu poate fi un divizor al lui 3y oricare ar fi y, ceea ce arată că ipoteza că există triplete de soluții întregi pentru y >= 2 este eronată.
Cele 5 soluții găsite sunt deci unice.