Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
456 vizualizari

Într-un pătrat de dimensiunea 1x1 încape cel mult un disc cu diametrul 1.

Într-un pătrat de dimensiunea 2x2 încap cel mult 4 discuri cu diametrul 1.

Într-un pătrat de dimensiunea 3x3 încap cel mult 9 discuri cu diametrul 1.

De la ce dimensiune n a pătratului (cu n număr natural) începe să nu mai funcționeze regula că încap n² discuri?

Expert (12.8k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

0 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Pe o coloană aşez n cercuri tangente între ele, pe următoarea coloană pun n-1 cercuri tangente între ele şi fiecare dintre aceste cercuri este tangent la două cercuri din coloana din stînga. Lungimea pe orizontală a acestei structuri este 1 + sqrt(3)/2 (teorema lui Pitagora), deci se cîştigă (faţă de 2) 1 - sqrt(3)/2 ≈ 0.13. După acest tipar, punem în continuare şi în mod alternativ coloane de n şi n-1 cercuri pînă cînd cîştigul în lungime se apropie de 1. Remarcăm 7*0.13=0.91 şi ne oprim.  Pe verticală facem n=8. Avem 8 coloane (4 cu 8 cercuri şi 4 cu 7 cercuri), 8 linii şi 7 cîştiguri în lungime. Lungimea totală a acestei structuri este 8 - 0.91= 7.09. Înscriind acest model într-un pătrat de 8*8 vom avea 8*4 +7*4 = 60 de cercuri, mai puţin cu 4 decît numărul maxim 64, dar spaţiul ocupat este de 8*7.09, deci se poate insera o coloană de 8 cercuri deoarece avem nevoie doar de sqrt(3)/2 ≈ 0.87 ( din cauza tangenţierii ) şi nu de 1, ba chiar rămîne loc şi de respirat. Vom obţine un număr maxim de 68 de pătrate > 64.
Răspunsul este n = 8.
Precizarea făcută de autor cu privire la "dimensiuni mari" mă intrigă: ori am greşit eu, ori vorbim de probleme diferite, ori a fost o diversiune din partea lui.

Experimentat (4.8k puncte)
selectat de
0 0
Felicitări. Tot 8 mi-a ieșit și mie. O demonstrație riguroasă ar trebui să aducă dovezi că această structură hexagonală este cea mai compactă, inclusiv în cazul înscrierii unor cercuri într-un pătrat de o dimensiune dată, dar din cîte știu această demonstrație nu există. Știm doar că, oricît am încerca, nu putem înghesui mai multe cercuri. Chiar sînt curios dacă la un anumit raport între latura pătratului și diametrul cercurilor nu cumva există un aranjament care să fie încă și mai eficient decît cel hexagonal. Bănuiesc că există; pentru anumite dreptunghiuri pot demonstra ușor asta.

„La dimensiuni mari” se referă la dimensiuni mai mari decît cele din enunțul problemei, unde am dat cazurile n = 1, 2, 3. Tentația este de a extrapola aceeași regulă și la n-uri mai mari, dar, după cum frumos ați demonstrat, am greși făcînd această extrapolare.
0 plusuri 0 minusuri

patratul cu latura de n se descompune in npatratele cu latura de 1.Fiecare patrat contine un disc deci incap n2 discuri.Deci nu exista o anumita valoare.

Experimentat (2.3k puncte)
0 0

La dimensiuni mari încap mai mult de n² discuri.

0 0
Desigur, reteaua hexagonala e cea mai compacta.
...