Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
418 vizualizari
Cum aflaţi cel mai mic număr natural divizibil cu 19 avînd toate cifrele identice?
Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Nr cautat are forma aa...a si e div cu 19. Numarul il scriem a * 11...1. Deoarece a este o cifra intre 1 si 9, deducem ca numarul 11...1 trebuie sa fie divizibil cu 19 (numarul de cifre "1" este de minim 3). Primul astfel de numar divizibil cu 19 este 111 111 111 111 111 111. Se alege cifra a=1, deci cel mai mic numar cu cifre identice care e divizibil cu 19 este 111 111 111 111 111 111. De asemenea, toti multiplii lui vor fi divizibili cu 19.
Novice (158 puncte)
selectat de
0 0

Atunci trecem la următoarea întrebare: cum aţi aflat că "Primul astfel de numar divizibil cu 19 este 111 111 111 111 111 111" ? 

0 0
Prin teste. Am incercat sa gasesc un pattern pt numerele 11...1, descomuse in produse de numere prime, dar nu am reusit. Oricum, numarul testarilor s-a limitat la 16, fata incercarile de a descompune numerele 11..1 si de a gasi combinatii de produse de numere prime - printre care si 19 - care inmultite sa dea numere de forma 11...1. Si chiar daca gaseam un astfel de produs de numere prime, printre ele si 19, care sa dea rezultatul 11..1, trebuia justificat separat ca e cel mai mic produs de acel gen. Solutia intr-adevar se poate imbunatati.
1 plus 0 minusuri

Numărul cerut este de forma nn..n unde n ia valori naturale  în intervalul [1,9].

Prin încercări, pornind de la criteriul de divizibilitate cu 19, am constatat faptul foarte interesant, că toate numerele de această formă sunt divizibile cu 19 atunci când ajung la ordinul de mărime de 1017.

Adică     222 222 222 222 222 222

             333 333 333 333 333 333,

                              .

                              .

              999 999 999 999 999 999

ajung  și ele multipli de  19 pentru prima oară atunci când ating ordinul de mărime 1017. De aici se vede clar că 111 111 111 111 111 111 este cel mai mic.

Voi mai studia de unde rezultă acest comportament interesant. 

Edit. M-am lămurit. Dacă oricare din numerele cu n diferit de 1 ar fi multiplu de 19 pentru un ordin de mărime mai mic decât 1017, ar rezulta că, împărțind numărul la n, numărul format cu 1 ar fi divizibil cu 19 pentru un ordin de mărime mai mic, ceea ce nu se verifică. Numărul cel mai mic este deci cel format cu repetarea cifrei 1.

 

 

Senior (6.6k puncte)
editat de
0 0
Foarte interesant, poate numărul 18 = 19 - 1 are vreo legătură cu problema? Şi de ce spuneţi că numai imparele?
0 0
Nu-mi e clară legătura. Trebuie luat la bani mărunți criteriul de divizibilitate cu 19. Apropo, din același criteriu se vede că sunt divizibile și cu 7.
1 plus 0 minusuri
mica teorema a lui Fermat a^(p-1) congruent cu 1 modulo a.

Demonstratie acestei teoreme se face mai usor cu teoria grupurilor ,mai exact in grupul Z*p cu inmultirea unde p este numar prim.

O consecinta a teoremei lui Lagrange la grupuri finite este urmatoarea :ordinul unui element divide ordinul grupului.

Astfel intrun grup de ordin n atunci pentru orice g din G avem g^n=1.

In consecinta  aplicand aceasta in Z*p obtinem mica teorema a lui Fermat.

Particular orice numar la puterea 18 va avea rest 1 la impartirea cu 19.

Sa aratam ca elementul 10 din Z*19 are ordinul 18 .

ordinul divide ordinul grupului deci ordinul unui element din un grup cu 18 elemente poate fi 2,3,6,9 sau 18.Astfel verificand ptr puterile respective nu gasim decat pe 18.
Experimentat (2.3k puncte)
...