Pornim de la două observații:
1.Din criteriul de divizibilitate cu 11 rezultă că un număr format din 3 cifre, de forma abc (considerați bara deasupra :)), dacă e divizibil cu 11, atunci există relația b = a + c.
2. Orice număr prim scris cu 2 sau mai multe cifre nu poate avea ca cifră a unităților decât 1, 3, 7 sau 9.
a) Din condiția 2. rezultă că cifra b din mijloc, cea care va deveni cifra unităților după inversare nu poate fi decât 1, 3, 7 sau 9. Se vede însă că dacă ea e 3 sau 9, din b = a + c, numărul este, indiferent de ordinea cifrelor, divizibil cu 3 sau 9, deci nicio inversare nu-l va face prim. Reținem deci doar variantele cu 1 și 7, care ne dau următorii candidați:
110, 275, 572, 374, 473, 176 și 671.
Inversînd ultimele două cifre obținem 101, 257, 527, 347, 437, 167 și 617. Dintre acestea, prime sunt: 101, 167, 257, 347 și 617 (am căutat într-un tabel de prime).
În concluzie, numerele formate din 3 cifre, divizibile cu 11 și care, prin inversarea ultimelor două cifre dau numere prime sunt: 110, 275, 374, 176 și 671.
b) În al doilea caz cifra unităților rămâne neschimbată și aplicând condiția 2) rezultă că ea trebuie să fie 1, 3, 7 sau 9.
Construim respectând condiția 1. toate numerele de 3 cifre, divizibile cu 11 care au aceste cifre ale unităților: Ele sunt:
121, 231, 341, 451, 561, 671, 781, 891 pentru cifra unităților egaă cu 1,
143, 253, 363, 473, 583, 693 pentru cifra unităților egală cu 3,
187, 297 pentru cifra unităților egală cu 7.
Nu putem construi un număr cu cfra unităților egală cu 9 din condiția 1.
Din aceste numere excludem pe cele a căror divizibilitate cu 3 sau 9 nu va fi afectată de inversare, adică : 231, 561, 891, 363, 693 și 297.
Invresăm primele două cifre ale candidaților rămași și obținem șirul: 211, 431, 541, 761, 871, 413, 523, 743, 853 și 817. Numerele scrise cu roșu sunt neprime, restul sunt prime.
În concluzie, numerele de 3 cifre, divizibile cu 11 și cu proprietatea că, dacă inversăm primele 2 cifre dau numere prime sunt:
121, 341, 451, 671, 253, 473 și 583.
EDIT: Acum, după ce am văzut răspunsul lui AdiJapan realizez că nu am tratat situația în care (a + c) - (b + 0) = 11. Mi s-a părut că nu e nevoie pentru numere de 3 cifre. Era.