Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
719 vizualizari
Să se determine n - număr natural - astfel încît (2n) ! + 1 să se dividă cu n ! + 1.
P.
 
Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica
0 0
M-am gandit un pic la ideea de ce ar fi doar n=3.

Exista o teorema in teoria numerelor numita teorema lui Bertrand care afirma ca intre n si 2n exista cel putin un numar prim.

Se pare ca n!+1 admite in descompunerea sa un numar prim p situat intre n si 2n pentru n>3.Daca se verifica aceasta problema atunci problema e rezolvata.O idee de rezolvare e sa lucram in grupul multiplicativ Zp fara 0 cam in aceeasi idee cu care se demonstreaza imediat teorema lui Wilson.

 se considera polinomul x^(p-1)-1=0  care admite toate cele p-1 radacini si se scrie relatia lui Viete pentru produsul lor rezultand teorema lui Wilson.Ramane de studiat.

Edit .nu merge am verificat pe wolphram si am gasit un contraexemplu

3 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Verificăm pentru n = 1, n = 2 și n = 3 și observăm că, pentru n = 3, n! + 1 / (2n)! + 1 (simbolul / reprezintă relația divide pe). Analizăm ce se întâmplă pentru n >= 4.

Fie C = C(2n, n) = (2n)!/(n!)^2 unde C(2n, n) înseamnă combinări de 2n luate câte n. (2n)! = C * (n!)^2 => (2n)! + 1 = C * (n!)^2 + 1 => (2n)! + 1 - (C + 1) = C * (n!)^2 - C => (2n)! + 1 - (C + !) = C * [(n!)^2 - 1] sau (2n)! + 1 - (C + 1) = C * (n! + 1)(n! - 1).         (1)     Din (1) observăm că (n! + 1) / [(2n)! + 1]  <=> (n! + 1) / (C + 1)   ( / = divide pe).     (2)    ceea ce reduce problema la a găsi valorile lui n >= 4 pentru care (n! + 1) / (C + 1).

(n! + 1) / (C + !) <=> există a, număr natural, astfel încât C + 1 = a(n! + 1) Se vede că a e impar, ca raport de numere impare. Se calculează ușor că, pentru n = 3, a = (C + 1)/(n! + 1) = 3 . Analizăm ce se întâmplă cu acest raport pentru n >= 4.

Fie F(n) definită pe intervalul [3, infinit) cu valori in N, F(n) = (C + 1)/(n!+1).  Demonstrăm că această funcție este strict descrescătoare pe intervalul pe care e definită.

F(n) = [C/(n! + 1)] + 1/(n! + 1). Al doilea termen al acestei sume e evident strict descrescător.  Deoarece C/(n! + 1) < C/n! oricare ar fi n, dacă funcția G(n) = C/n! este strict descrescătoare, atunci C/(n! + 1) e cu atât mai mult strict descrescătoare. Fie G(n + 1)/G(n) = [C(2n + 2, n + 1)/[(n + 1)!] * n!/C =                          = (2n + 2)!/[(n + 1)!]^3 * (n!)^3/(2n)! = (2n + 1)(2n +2)/(n + 1)^3 =                             =2(2n + 1)/(n + 1)^2 < 1.  Ultima inegalitate se demonstrează simplu pe domeniul considerat.

Am demonstrat că G(n) e strict descrescătoare, deci C/(n! + 1) e strict descrescătoare și, în concluzie, F(n) =  (C + 1)/(n! + 1) e strict descrescătoare. Deci, dacă pentru n = 3, F(3) = 3, pentru n >= 4, F(n) < 3. Am arătat însă că acest raport este impar, deci singura valoare rămasă este (C + 1)/(n! + 1) = 1. Dar asta înseamnă C = n! => (2n)! = (n!)^3. Ultima egalitate nu poate fi adevărată deoarece, conform teoremei lui Bertrand, între n și 2n există cel puțin un număr prim p, n < p < 2n care nu poate fi produsul niciunuia din divizorii lui (n!)^3. De asemenea, n < p => niciun divizor al lui (n!)^3 nu poate fi multiplu al lui p. Prin urmare, deoarece au factorizări diferite (2n)! și (n!)^3 nu pot fi egale.

În conluzie nu există n natural, n > 3 astfel încât (n! + 1) /  (C + 1), ( / = divide pe),    ceea ce, din propoziția (2), este echivalent cu a afirma că nu există n natural mai mare ca 3 astfel încât n! + 1 / (2n)! + 1. 

Senior (6.6k puncte)
selectat de
0 0
Felicitari.Chiar daca sunt anumite greseli la editare si anume la raportul acela apare la puterea a 3-a dar in final apare corect la puterea a 2-a.Puteai sa iei intervalul de monotonie chiar incepand cu 3 spre infinit.
0 0
Așa e, intervalul de monotonie e de la 3 la infinit, voi modifica. În ce privește calculele, apare și puterea a treia la un numitor, dar ulterior se simplifică, m-am uitat și nu-mi dau seama unde e eroarea de editare, ca să o îndrept. Dar e posibil, lipsa unui editor care să conțină simboluri matematice face uneori din scrierea unor soluții un adevărat chin. Ca să nu vorbesc de unele probleme de geometrie în care trebuie să povestești desene.
0 0
Hopa şi iepuraşul adormit care vă aduce din toată inima mea felicitări.
1 plus 0 minusuri

n=3cool

Nu ai precizat sa determinam toate numerele naturale.Dar e cam genul de problema care ar cam cere sa aratam ca nu avem decat aceasta solutie.

Experimentat (2.3k puncte)
0 0

Mă aşteptam la o demonstraţie, dar acesta este stilul zecist, uneori oferă cunoştinţe avansate de matematică, alteori este mahmur şi întotdeauna, pe mine, mă trimite să studiez din nou cărţile de limba română. În enunţul întrebării, nu am pus de pomană P. pentru că bănuiam cine va reacţiona, dar cu o soluţie personală.

0 plusuri 4 minusuri

M-am gandit un pic la ideea de ce ar fi doar n=3.

Exista o teorema in teoria numerelor numita teorema lui Bertrand care afirma ca intre n si 2n exista cel putin un numar prim.

Se pare ca n!+1 admite in descompunerea sa un numar prim p situat intre n si 2n pentru n>3.Daca se verifica aceasta problema atunci problema e rezolvata.O idee de rezolvare e sa lucram in grupul multiplicativ Zp fara 0 cam in aceeasi idee cu care se demonstreaza imediat teorema lui Wilson.

 se considera polinomul x^(p-1)-1=0  care admite toate cele p-1 radacini si se scrie relatia lui Viete pentru produsul lor rezultand teorema lui Wilson.Ramane de studiat.

Edit .nu merge am verificat pe wolphram si am gasit un contraexemplu

Novice (101 puncte)
0 0

Nu-mi dau seama cu ce vă încîntă ce aţi făcut, zec merită tot respectul pentru răspunsurile şi sugestiile lui.

 

...