Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
1.9k vizualizari

Iată o demonstrație din care reiese că orice triunghi, oricum l-am desena, este echilateral. Știm bine că așa ceva nu se poate, și atunci desigur întrebarea este: puteți spune unde s-a strecurat greșeala în demonstrație?

Apropo de asta, se spune adesea că geometria e arta de a raționa corect pe figuri greșite. S-ar putea să fie adevărat.

Expert (12.8k puncte) in categoria Matematica

3 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Am mai intalnit aceasta problema, dar figura era ticluita astfel incat bisectoarea si mediatoarea sa se intersecteze in interiorul triunghiului, iar congruenţa lui AB si AC sa fie data de suma a doua congruenţe ale segmentelor continute in AB si AC.

Aici vad ca domnul profesor a modificat greseala de desenare astfel incat cele doua perpendiculare trasate din X pe laturile AB si AC sa cada ambele in afara triunghiului, pe prelungirile laturilor AB si AC (lucru, cred, imposibil in realitate). Perpendiculara din X pe AC se vede destul de clar ca nu e tocmai perpendiculara. Nu m-as mira sa mai existe si o alta mica inexactitate introdusa in desen, probabil la construirea bisectoarei ori la alegerea mijlocului laturii BC, astfel incat sa nu sara prea tare in ochi faptul ca desenul este "adus din condei"...

E interesant ca folosind astfel de figuri gresit desenate putem demonstra, prin reducere la absurd, ca anumite constructii geometrice sunt imposibil de intalnit in realitate...
Senior (7k puncte)
selectat de
0 0
Da intradevar si asta demonstreaza in fapt exact ce ziceai .O presupunere prin absurd a faptului ca ambele perpendicualare pica in prelungirea laturilor in conditiile date demonstreaza  aceasta contradictie si anume ca ar fi un triunghi isoscel.Conditie esential de specificat in ipoteza ca AB e diferit de AC altfel bisectoarea si mediatoarea se confunda.
0 0

$goguv: desenul animat mi se pare foarte bine realizat. Demonstraţia derivă din alte argumente.

$zec: Şi în enunţul întrebării şi în filmuleţul prezentat spectatorilor se precizează clar că este un triunghi oarecare. Întrebarea este cunoscută, se referă de fapt la cum se demonstrează intersecţia celor două drepte semnificative în afara triunghiului, de ce o perpendiculară cade pe interior şi alta pe prelungire şi pe unde ar fi scăparea vicleană a prezentatorului în materialul expus şi atenţiei privitorilor acestui site.

0 0
Goguv, v-ați apropiat, dar n-ați pus punctul pe i. Desenul e într-adevăr (intenționat) imprecis, dar unde anume e greșeala în demonstrație? Care din relațiile care compun demonstrația e prima greșită?
0 0
@AdiJapan:

Daca acceptam ideea ca figura este una corect realizata, demonstratia este perfecta din punct de vedere logic, in opinia mea. Toate congruentele demonstrate sunt corecte, pe desenul dat. Tocmai de aceea am spus ca este numai buna de folosit o asemenea figura pentru a realiza o reducere la absurd...

 

@Gheorghita:

Nu am inteles mesajul dvs. pentru mine.
0 0

$goguv: Poate greşesc, dar mi s-a părut că insistaţi pe desenul perfid prezentat şi nu pe o demonstraţie matematică ceea ce ar fi dorit musiu AdiJapan - cum a spus mai devreme - aş pune eu punctul pe i, dar nu ar fi corect. Cu prietenie....

0 0

@Gheorghita:

Inteleg ca dvs. imi cereti sa demonstrez faptul ca cele doua perpendiculare cad una in interiorul laturii triunghiului, respectiv cealalta pe prelungirea laturii triunghiului? Asta credeti ca ne cere AdiJapan? Ca eu nu am avut impresia asta...

Oricum, nu stiu cat de riguroasa ar fi demonstratia, dar o varianta probabil ca ar fi cea cu reducerea la absurd, de care vorbeam...

 

P.S.:

Sa stiti ca primesc in mod implicit orice comentariu, fie el si in contradictoriu, "cu prietenie". Cred ca suntem amandoi destul de vechi pe acest site, cat sa nu mai fie nevoie de astfel de formule de politete...

0 0
Goguv, figura nu e corectă. Relațiile din demonstrație sînt corecte pînă la un punct, după care în urma unei „greșeli” devin false. Eu întreb care e acel punct.

În raționamentele de geometrie figura nu face parte din demonstrație (chiar dacă la examene e obligatorie). O folosim doar ca suport vizual, nu ca argument. Deci dacă o desenăm strîmb nu e mare nenorocire (sau n-ar trebui să fie). Adevărata greșeală e în succesiunea de implicații din demonstrație. Toate implicațiile din demonstrația tipului ăstuia sînt corecte, mai puțin una. Întrebarea e care.

N-aș vrea să credeți că insist să-mi răspundeți. Ați ajuns pînă foarte aproape, de-asta comentez aici și par insistent. Dar desigur sînteți liber să vă opriți aici, iar răspunsul poate îl găsește altcineva.
1 0
@AdiJapan

Desi imi pastrez opinia ca demonstratia e impecabila dpdv logic (lucru cu care inteleg ca nu sunteti de acord), daca ar fi sa aleg un pas eronat ar fi acela in care profesorul face egalitatea intre AB si AC scazand BB* din AB*, respectiv CC* din AC*. Pe acea figura, relatiile sunt corecte. Doar ca in realitate e vorba de o adunare, respectiv o scadere.

Repet, in microuniversul generat de acest desen particular, rezolvarea imi pare perfecta.

Chiar m-ati facut curios daca ma insel ori nu...
0 0

%goguv: Scuze pentru formulările mele plăsmuite din tentativa mea de fi prietenoasă, nu sînt amică cu absolut nimeni din această zonă. Referitor la această întrebare, puteţi arăta într-un rînd că congruenţa triunghiurilor nu se face corect. Scuze.

1 0
@Gheorghita:
Daca tineti neaparat, fie! Va accept scuzele, desi nu stiu pentru ce e nevoie de ele :)

Imi dati constant impresia unei atitudini defensive, care cred ca vine pe un fond mai degraba agresiv, dat de faptul ca va place sa aveti mereu dreptate.

Pentru mine chestia asta cu avutul dreptate e demult istorie. M-am lamurit de multa vreme ca sunt milioane de oameni mai inteligenti ca mine pe planeta Terra, asa ca tot ce pot face e sa invat de la unii dintre ei, dispusi sa impartaseasca altora din experienta lor.

Si, apropos de impartasit cunostinte, eu inca astept reactia dvs. la a doua problema pe care ati propus-o ca pregatire pentru O.I.M. (nu ati replicat nimic la raspunsul lui zec). Exista oare o rezolvare mai eleganta decat cea propusa de utilizatorul zec ptr acea problema?
0 0
Goguv, da, acolo e greșeala: Lungimea segmentelor AB și AC a fost calculată prin scădere (sub influența figurii greșite), deși una trebuia prin adunare. Felicitări.

Dar nu, demonstrația nu este impecabilă dacă se înlocuiește o adunare cu o scădere. Figura nu face parte din demonstrație, deci n-o putem aduce ca argument că amîndouă operațiile acelea sînt de scădere.

Șmecheria desenului este de a împinge punctul X cît mai departe de triunghi, pentru ca punctele B* și C* să ajungă amîndouă în exteriorul laturilor. Pentru asta am constatat că bisectoarea unghiului A e desenată corect, dar mediatoarea lui BC nu face tocmai un unghi drept. Apoi partea a doua a șmecheriei e de a face ca segmentele BB* și CC* să pară de aceeași lungime, iar pentru asta perpendicularele nu prea sînt perpendiculare. De fapt, BB* și CC* chiar sînt congruente și într-un desen făcut corect, dar nu sînt de aceeași parte a lui BC.

Gheorghița, triunghiurile XBB* și XCC* chiar sînt congruente (dar nu și simetrice, cum zice tipul și cum apar în figura greșită).
0 0
@AdiJapan:

Asa cum am scris si initial, am intalnit acum multa vreme problema insotita de un desen in care mediatoarea si bisectoarea se intersectau in interiorul triunghiului oarecare. E interesant ca, pe acel desen, se putea demonstra ca AB si AC sunt congruente, ca sume de segmente congruente. Am ramas atunci cu ideea ca pot folosi acel desen pentru a demonstra, prin reducere la absurd, ca mediatoarea si bisectoarea se intersecteaza obligatoriu in afara triunghiului ABC.

La fel, acum, constat ca smecheria cu desenul poate fi dusa mai departe prin mecanismul de fata, dar, ca si in cazul cu intersectia din interior, putem folosi si acest desen pentru a demonstra ceva prin reducere la absurd, si anume faptul ca, desi bisectoarea si mediatoarea se intersecteaza in exteriorul triunghiului, totusi cele doua perpendiculare cad una in interiorul unei laturi (AC in acest caz), iar cealalata in exteriorul celei de-a doua laturi a triunghiului (AB).

Acum, de dragul rigurozitatii, am ajuns sa ma intreb daca nu cumva exista situatii in care, in functie de unghiul BAC si de lungimile laturilor AB si AC, e posibil ca mediatoarea si bisectoarea sa se intersecteze totusi, in interiorul triunghiului, doar ca cele doua perpendiculare duse din punctul lor de intersectie cad una in interior, iar alta in exteriorul laturilor AB, respectiv AC...
0 plusuri 0 minusuri
Vreau sa completez un pic raspunsul.

Cand bisectoarea si mediatoarea se intersecteaza in interiorul triunghiului?

Nu tine de unghiuri acest raspuns .Raspunsul tine de urmatorul fapt ,cand latura mai mare e situata in unul din semiplanele determinate de mediatoare.Explicatia vine din faptul ca mediatoarea  va separa piciorul bisectoarei de varful A si triunghiul fiind o figura convexa rezulta ca e situata in interior.

Adi conform figura tot rationamentul e perfect logic si incearca sa pacaleaca folosind un desen nu departe de forma unui triunghi echilateral.Diferentele fiind mici ele nu sunt asa evidente.Demontratia asta numai e asa usor de pacalit cand AB e evident mai mare decat AC.
Experimentat (2.3k puncte)
0 0

 "Orice triunghi este echilateral. Iată o demonstrație". Unde e demonstratia completa, scrisa si cu figura completa, chiar gresita? Sa facem capturi de imagine si stenograme dupa un filmulet? Asta nu e matematica, ci prestidigitatie. Mai multa seriozitate n-ar strica.

0 0
E un comentariu la răspunsul șui Zec sau la întrebarea mea?

În orice caz, eu nu înțeleg ce obiecție aveți. Tipul din film face o demonstrație, desenează o figură, spune în cuvinte pașii raționamentului (îi scrie și pe hîrtie), iar întrebarea e unde greșește. Asta e tot. Nu e prestidigitație.
0 plusuri 1 minus
din puct de vedere matematic este totul corect.daca xb'=xc' si xb=xc ,<b'=<c' cele doua triunghiuri sun asemenea si identice atunci unghiul b;bx este egal cu c;Cx

mai avem triunghiul BXC isoscel cu unghiurile B si C din triunghiul BXC egale atunci si unghiurile B SI c DIN TRIUNGHIUL ABC  sunt egale si este isoscel. din punctul meu de vedere este ca este o figura in spatiu. numai asa poate face sa apara un triunghi oarecare dar de fapt este echilateral.
Novice (116 puncte)
...