Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
453 vizualizari

Determinaţi soluţiile întregi ale ecuaţiei: xy(x2 +y2) = 2z4 ?

Salutări celor care sînt interesaţi de matematică, scuze faţă de cei care m-au considerat agasantă, oricum, mulţumesc tuturor oamenilor inteligenţi care au aruncat o privire peste întrebările mele.

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica
0 0
Găsisem o soluție dar, ulterior, am realizat că avea o inconsistență și am retras-o.

Pardon!

4 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri
O categorie de soluţii este la îndemâna oricui:

O observaţie ar fi că este obligatoriu ca x şi y să fie ambele fie numere întregi pozitive, fie negative, pentru ca ambii termeni ai ecuaţiei să fie pozitivi.

De asemenea, dacă x=y=z, ecuaţia se transformă în 2x^4=2x^4, de unde rezultă foarte simplu că orice număr întreg x reprezintă o soluţie, atunci când  x=y=z sau x=y=-z

În continuare e nevoie de matematicieni adevăraţi care să localizeze soluţiile care nu presupun egalitate, în valoare absolută, între cele trei componente ale tripletei de numere întregi {x, y, z}...

Ori, dacă e să mă iau după o intuiţie de moment, să demonstreze că astfel de soluţii nu pot exista (dincolo, desigur, de triplete de genul x=0, z=0, y-orice sau y=0, z=0, x-orice)...
Senior (7k puncte)
editat de
0 0
Pana aici e cam evident dar partea cealalta pentru valori nenule si distincte e chiar dificila.Am incercat cate ceva ,am sa mai incerc o idee sa vad daca imi reuseste ceva.
0 0
Poate nu ar fi rau sa ne publicam si ciornele. Si eu am cateva idei pe care nu am reusit sa le duc la bun sfarsit. Inteleg ca si puiu. Poate cu o idee de ici de colo ajungem mai repede la solutia corecta...
2 plusuri 0 minusuri
In sfarsit am o solutie .E cam grea cum era si de asteptat si de aceea am sa o prezint sub o forma cat mai concreta.

Am sa folosim urmatoarea lema :

Ecuatia x^4+4y^4=z^2 nu admite solutii intregi pozitive.

Demonstratie:

Sa presupunem ca ecuatia ar admite solutii si fie (x,y,z) o solutie cu  z minim si prime intre ele.

Deoarece aceasta ecuatie se poate pune sub forma unei ecuatii pitagoreice  atunci este cunoscut ca  solutiile unei ecuatii pitagoreice sunt de forma

u^2-v^2;2uv si u^2+v^2. u,v>0 (u,v)=1 cand e vb de solutii cu (x,y)=1

Deci vom avea x^2=u^2-v^2      2y^2=2uv si z=u^2+v^2.Evident nu putem avea x par altfel nu ar mai fi prime intre ele.Din prima relatie rezulta x^2+v^2=u^2 o alta ecuatie pitagoreica si ea are solutii daca x sau v este par ,dar cum x este impar atunci neaparat avem v par .

Fie v=2v1.Din 2y^2=2uv obtinem y^2=2uv1 si deducem ca 2|y de unde daca scriem y=2y1 obtinem 2y1^2=uv1 deducem din nou ca 2 divide v1 si vom obtine ca v1=2v2 si obtinem ca y1^2=uv2 si pentru u si v2 obtinem o solutie a ecuatiei in care z=u^2+v2^2<u^2+v^2 contradictie cu alegerea minimala a lui z.

Acuma sa revenim la problema noastra .Numai repet ca in cazul x=y=z avem solutie.Daca (x,y)=d atunci se arata relativ usor cu o mica discutie ca d|z  si .simplificand ecuatia problema revina la a arata ca nu avem solutii in care (x,y)=1 si x diferit de y.

Sa presupunem ca am avea solutii si daca p divide x^2+y^2 atunci p nu poate divide x sau y fiindca alfel am obtine ca p ar divide si pe x si pe y ceea ce contrazice faptul ca sunt prime intre ele.Astfel deducem ca p|2z^4  de unde p=2 sau p|z in cazul in care x si y au paritati diferite vom avea p|z^4 si vom deduce  ca x^2+y^2=A^4 (ideea e ca factori primi din produsul din stanga trebuie sa fie la puiterea a 4 sau multiplu de 4 altfel nu putem avea egalitatea cum p e factor doar al lui x^2+y^2 deducem egalitatea data)si in aceeasi idee se deduce  xy=2B^4  asta fiind echivalent cu

A^4+4B^4=(x+y)^2 ecuatie care am vz in lema ca nu are solutii.

Cazul x si y impare implica cam acelasi gen de ecuatie.In acest caz avand

x^2+y^2=2A^4 si xy=B^4. trebuie continuat.
Experimentat (2.3k puncte)
editat de
0 0
A doua ecuatie in caz impar implica o ecuatie de forma

x^4+y^4=2z^2 .Care nici aceasta ecuatie nu are solutii dar evident trebuie demonstrata .Daca se arata ca nu are solutii am epuizat si cazul acesta si problema e complet rezolvata.O idee in acest sens e tot bazata pe modul in care se rezolva ecuatia pitagoreica,am sa incerc sa demonstrez si aceasta problema.
0 plusuri 0 minusuri
Continuare.
 
Deci ramasesem sa rezolvam si cazul x si y impare.
 
In acest caz am avea x^2+y^2=2A^4 si xy=B^4.Caz in care am avea (x+y)^2=2A^4+2B^4 unde A si B sunt prime intre ele.Scriind x+y=2z vom obtine  dupa simplificare ecuatia A^4+B^4=2z^2.Cum A si B sunt prime intre ele si au aceeasi paritate deducem ca A si B sunt ambele impare.
Pentru a demonstra asta .am gasit pe net o solutie mai eficienta decat ce aveam eu.
In aceeasi idee cum am aratat la ecuatia 
x^4+y^4=z^2 ca nu are solutii in care x,y,z sunt prime intre ele,aceasta dovedind in fapt si cazul n=4 a teoremei lui Fermat(celebra ipoteza acum demonstrata)
se poate demonstra si urmatoarea ecuatie x^4-y^4=z^2 punand solutiile din ecuatia pitagoreica (x^2)^2=(y^2)^2+z^2 .Prin absurd daca am presupune ca avem solutii fie x,y,z o solutie cu x minim.Dar avem din solutia ecuatiei pitagoreice ca exista u,v prime intre ele astfel incat 
z=2uv(z este cel par ) y^2=u^2-v^2 si x^2=u^2+v^2 (*).Dar (xy)^2=u^4-v^4(adica o alta solutie )dar u rezulta mai mic ca x din relatia * ceea ce contrazice minimalitatea lui x.
Acuma sa revenim la ecuatia problemei.
Daca ecuatia  A^4+B^4=2z^2 ar avea solutii atunci solutia ar satisface relatia
z^4-(AB)^4=[(A^4-B^4)/2]^2 contradictie cu ecuatia demonstrata mai devreme.
Un mic comentariu de final.Deci in acest moment problema e complet rezolvata,cam greu dar e rezolvata.Poate ca exista o solutie mai scurta .Solutia mea e lunga din alte motive si in special pentru ca am demonstrat si acele ecuatii care sunt destul de cunoscute.
Experimentat (2.3k puncte)
4 plusuri 0 minusuri

Încerc o soluţie poate mai simplă:  

xy = [(x + y)2 – (x – y) 2] / 4

x2 +y2 = [(x + y) 2 + (x – y) 2] / 2

Notez  x + y = a şi x – y = b. Ecuaţia xy(x2 +y2) = 2z4 devine:

(a2 – b2) (a2 + b2) = 8*2z4 => a4 – b4 = 16z4 = (2z) 4. Notez 2z = c

Avem deci ecuaţia a4 = b4 + c4 , de fapt marea teoremă a lui Fermat ( aici n=4 ) care spune :

Ecuaţia xn +yn = zn nu are soluţii  dacă n>2 este număr natural, iar x,y,z sînt numere întregi nenule”.  În cazul nostru (a4 = b4 + c4), rezultă existenţa particulară a soluţiilor care conţin numere nule şi pentru a da o formă soluţiilor ecuaţiei iniţiale: infinitatea tripletelor întregi de forma ( z, z, +/- z) sau ( 0, z, 0), (z, 0,, 0)

Experimentat (4.8k puncte)
0 0
ai fost cumva inspirata de solutia mea?
0 0

Spre deosebire de alte persoane, v-am înţeles soluţia foarte greu, poate din cauză că aveţi o metodă mai proprie de a vă prezenta rezolvările, dar am priceput-o pînă la urmă, eram gata-gata să-mi exprim opinia şi să renunţ la aflarea unei soluţii personale, dar am fost  ambiţionată de contextul în care am găsit întrebarea ( ceva personal ), de simplitatea aparentă a problemei, simplitate care mă intriga şi parcă solicita o soluţie pe măsură, de faptul că nu este cunoscută ( după ce am tot sucit-o, am căutat-o şi pe Internet, dar fără rezultat) dar mai ales de aluzia unui participant la acest site privind faptul că nu reacţionez la răspuns, mai ales că eu pusesem întrebarea. Cu alte cuvinte, nu m-a inspirat absolut nimeni, dimpotrivă răspunsurile zeciste pe moment m-au derutat. Pentru mine rămîne o realizare memorabilă şi mulţumesc celui care a apreciat-o.

0 0
La aluzii nu mă pricep, de obicei spunând direct ce e de spus, iar, pe de altă parte, dacă software-ul îmi permitea, vă apreciam chiar multiplu soluţia, fiindcă îmi place mult (ea, soluţia) şi fiindcă ştiu că vă place să fiţi apreciată :)
0 0

Mai rar aşa compliment, mai ales venind din partea unui om care se exprimă aşa de frumos în mod direct, fără să-şi aleagă cuvintele şi ... pentru că în trecutul apropiat cînd nu prea ştiam nimic despre orice în România am avut ceva dispute. Orgoliul meu este normal, nimic diferit de-al celorlate persoame, aprecierele dacă apar mă bucură doar dacă sînt îndreptăţite - în acest caz, fără modestie histrionică, consider că le merit - pentru că am timp acum, adaug şi faptul că-mi plac problemele interesante, grele dar cu posibile soluţii mai neaşteptate, din orice domeniu ar fi ele, dacă nu-mi stîrnesc interesul, ambiţia sau nu sînt o provocare a minţii, mă lasă indiferentă - chiar şi unele probleme de şah. Nu ne cunoaştem de ieri de azi, vorbele unui erudit, aşa că nu vă spun: cu prietenie...  

...