Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
433 vizualizari

Scuze faţă de cei care cred că este ceva jucăuş.

Să se rezolve ecuaţia: x∙21/x  + (1/x)∙2x = 4. 

Din prea multă bunăvoinţă, autorul nu precizează din ce mulţime de numere face parte x. Dacă cineva o rezolvă, părerea mea este că respectiva / respectivul nu numai că trece de teza la matematică, ba chiar intră la facultatea de matematică.

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica
editat de
0 0

Lepton:  nu ne faceţi să comentăm degeaba, mă simt penibil că am vorbit singură, plus AdiJapan. Nu contează faptul că nu aţi fost atent, dimpotrivă, toată stima că aţi încercat un răspuns. Cu prietenie...

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Inmulțind ecuația cu x obținem

 

(x^2)*2^(1/x) - 4x + 2^x = 0         (1)

 

Tratăm relația (1) ca o ecuație de gradul 2 în care coeficienții sunt a = 2^(1/x), b = -4 și c=2^x. Condiția ca această ecuație de gradul 2 să aibă soluții reale este

b^2 - 4ac >= 0

adică 16 - 4*(2^x)*2^(1/x) = 4(4 - (2^x)*2^(1/x)) >= 0 => 4 - 2^(x + 1/x) >= 0 =>

=> x + 1/x =< 2 => x^2 - 2x + 1 =< 0 => (x-1)^2 =< 0. (2)

in numere reale condiția (2) e satisfăcută doar pentru situația de egalitate, deci

 

x = 1, soluție unică în R.

Obs. Din (1) se observă că se impune condiția x > 0, deoarece suma a 3 numere pozitive nenule nu poate fi nulă ( termenul -4x ar fi pozitiv iar ceilalți 2 sunt pozitivi pentru orice x) și, evident, x diferit de zero.
Senior (6.6k puncte)
selectat de
1 0
l.t.n.s. Cu prietenie ...
1 plus 0 minusuri
Deci remarcam ca x<0 duce la o expresie negativa in stanga si astfel nu avem solutii in numere negative .Deci x>0.

Aplicam inegalitatea mediilor si obtinem

x2^(1/x)+1/x82^x>=2sqrt[2^(1/x+x)]>=2sqrt2^2=4 unde am tinut cont ca x+1/x>=2 ptr orice x>0 si cu egalitate doar daca termeni sunt egali.Egalitatea are loc doar daca x=1/x asta inseamna x=1 si deoarece are loc egalitatea pentru x=1 rezulta ca este si singura solutie.

 Aceasta solutie e o idee mai directa decat ceea a lui Puiu dar si a lui este ok.Cu toate ca nu e ok in totalitatea modul de a considera aceea ecuatie de grad 2 cu acei coeficienti care depind tot de x.
Experimentat (2.3k puncte)
0 0
Ingenios şi scurt pe doi.
0 0
Avem ecuația (1) în x. Coeficienții lui x^2 și x^0 sunt funcții de un parametru. Pentru ca ecuația să aibă soluții reale coeficienții trebuie să indeplinească condiția ca discriminantul să fie mai mare sau egal cu zero, de unde rezultă că parametrul trebuie să fie egal cu 1.

Faptul că parametrul de care depind coeficienții este chiar x e un caz particular, util în acest caz pentru a demonstra că singura valoare care poate fi soluție a ecuației este 1. De altfel soluția asta se vede și cu ochiul liber.

Ce nu e " ok în totalitate" cu acest mod de a pune problema?
0 0
Faptul ca a la tine e un numar care nu poate lua valoarea 0 si din aceasta cauza solutia ta a functionat.Dar asta e foarte important si trebuie precizat.

In rest e perfect.
...