Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
468 vizualizari

Cincizeci de răufăcători înarmaţi cu cîte un pistol cu un singur glonţ (presupunem şi că sînt tragători de elită) trag unii asupra altora simultan (cuvînt foarte important), respectînd următoarea regulă: fiecare bandit împuşcă pe cel mai apropiat om de el şi îl omoară pe loc, iar dacă este la egală distanţă de mai mulţi atunci împuşcă numai unul (doar are un singur glonţ). Care este şi cum se determină numărul minim posibil (atenţie) de răufăcători ucişi între ei?

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica
0 0
Am găsit o soluție în care mor numai 7 oameni. M-am apropiat? Cred că se poate și cu mai puțini, dacă reușesc să optimizez configurația. Sigur, asta în ipoteza că am înțeles bine enunțul.
0 0

V-aş fi spus "călduţ" dar intervalul 1...50 este prea mic pentru a stabili ce înseamnă "apropiat". Da' de ce nu ne oferiţi soluţia dvs., poate o combatem sau nu?  Pentru că aveţi ceva îndoieli, bănuiesc. Enunţul consider că este clar, am încercat să elimin eventualele nelămuriri şi cred că este clar şi concis. 

5 Raspunsuri

5 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Am reușit să așez mai bine pistolarii și acum e nevoie să moară numai 6 dintre ei. Mai puțini nu văd cum.

Consider că pistolarii se pot așeza în spațiul tridimensional (de exemplu pe niște schele), nu doar în plan. Ideea e să formez „ciorchini” de pistolari, în care doi se împușcă unul pe altul, iar în jurul lor încerc să îngrămădesc cît mai mulți pistolari care vor supraviețui, cu grijă ca aceștia să nu fie prea apropiați unul de altul.

Pentru a explica mai ușor rezolv întîi problema în 2D. Iată cum arată un ciorchine de 10 pistolari în care mor numai 2 (cei negri), iar restul de 8 supraviețuiesc:

 ○ ○ ○
○ ● ● ○
 ○ ○ ○


Pistolarii se așează în așa fel încît formează triunghiuri echilaterale, deci toate distanțele dintre pistolarii vecini sînt egale. Cei doi pistolari negri se împușcă unul pe altul, iar cei albi din jur îi împușcă pe cei doi negri (nimic rasist în asta, s-a întîmplat).

Și cum avem 50 de pistolari, formăm 5 astfel de grupuri, deci în total mor 10 și supraviețuiesc 40. Deci în cazul 2D trebuie să moară 10.

Acum în 3D. Am găsit trei soluții, dar o explic aici pe cea mai ușor de desenat. Așez pistolarii pe trei plane, să le zicem subsol, parter, etaj. La parter așez 10 pistolari la fel ca în soluția pentru 2D, iar la etaj și la subsol îi așez tot în rețele de triunghiuri echilaterale, în așa fel încît distanțele pînă la cel mai apropiat pistolar negru să fie egale. În spațiu se formează niște tetraedre regulate. Iată cum arată configurația văzută de sus, cu cercuri pentru pistolarii de la parter și cu puncte pentru cei de la etaj; cei de la subsol sînt exact sub cei de la etaj:

 ○.○.○
○.●.●.○
 ○ ○ ○


(În desen punctele se văd puțin mai sus decît ar trebui, le corectați din ochi.)

Astfel ciorchinele are în total 10 pistolari la parter, 5 la subsol și 5 la etaj. În total sînt 20, din care mor cei 2 negri. Atunci din totalul de 50 de pistolari formez 3 astfel de ciorchini (unul e incomplet, dar cîtă vreme cei doi negri stau la locul lor merge). Deci din 50 de pistolari trebuie să moară 6. Dacă ar fi 60 de pistolari trebuie să moară tot 6.

Celelalte două configurații pe care le-am găsit au în mijloc nu 2 negri, ci 3, așezați fie coliniar, fie în triunghi. Dacă procedez așa, fiecare ciorchine are peste 25 de pistolari (27 la coliniar, 26 la triunghi), deci ajunge să formez numai doi ciorchini.

Asta înseamnă desigur că eu decid cine pe cine împușcă, nu-i las pe ei să aleagă dintre vecinii aflați la distanțe egale. Așa am interpretat partea cu „numărul minim posibil”.

Expert (12.7k puncte)
selectat de
0 0
Referitor la configuratia 2D, ai zis ca toate triunghiurile sant echilaterale, nu? Sau am inteles gresit? Si distanta dintre oricare doi vecini e aceeasi, da?

Daca asta e cazul, ce ii determina pe cei doi negri sa se impuste unul pe altul in loc sa impuste doi albi? Si de ce albii trebuie sa traga in negri in los sa traga intr-un alb vecin, aflat la aceeasi distanta?

Am inteles gresit geometria?

Sau poate am inteles gresit conditiile. Putem alege care pe cine, cu conditia sa respecte cerinta distantei minime, astfel incat sa rezulte in numarul minim? Un minim posibil dar nu necesar, pentru o geometrie data.
1 0
Ați înțeles bine geometria.

Aceeași problemă cu formularea anunțului am avut-o și eu. Nu e clar cine alege victimele. Dar fiindcă spune „numărul minim posibil” ne putem gîndi așa: noi stabilim configurația pistolarilor, iar dintre nenumăratele combinații de împușcări o alegem pe cea cu cele mai puține victime. Sigur, asta e interpretarea mea.
0 0
mi-a venit si mie azi in gand configuratia 2D care ai prezentat-o, dar aia 3D in niciun caz :)  Plecasem de la cercuri concentrice, dar am vazut ca mor prea multi.
0 0

Desi e o interpretare posibila ''datorita/datorata'' faptului ca aenuntul este prea ''clar şi concis'', nu cred ca intentia barmanitei era sa ne dea atat de multa libertate. Desi in realitate un glont poate ucide mai multe persoane, a eliminat aceasta posibilitate cu a doua parte conditionala a regulii, lucru care a incurcat intelegerea corecta a problemei, insa prima parte cred ca era imperioasa. A last libertatea de a-i aseza astfel incat respectand prima parte a regulii, (regula de baza), sa se obtina minimul de morti, fara insa a-i determina noi in mod direct care pe care sa impuste.

0 0

AdiJapan: În plan, pentru a da o umbră de matematică problemei, se poate arăta că într-un pistolar se pot găsi cel mult 6 gloanţe, rezultînd apoi că pentru fiecare om cu 6 gloanţe în el avem un alt mort cu cel mult 4 gloanţe (configuraţie minimă), de fapt figura dvs., dar eu am obţinut-o prin intersectarea a două hexagoane ( sau cercuri cum bine a remarcat Ciprian Constantin), cu două vîrfuri comune şi cu centrul fiecăruia într-un alt vîrf al celuilalt hexagon. Felicitări.

0 plusuri 1 minus
Sper sa nu zic aberatii.

1 infractor sta intr-un cerc cu raza de 1m. Lungimea cercului 2piR=6,28m. Deci pe margine la distante egale mai stau inca 6 toti fiind la distanta >1m intre ei si la distanta de 1m fata de cel din mijloc. => in cazul de fata ar muri 2, cel din mijloc si inca unul impuscat random de catre cel din mijloc. Din 7 cercuri a cate 7 oameni ar muri minim 7x2=14. Ar mai ramane inca unul in afara cercului la distanta r=1m care trage tot in cel care trage si cel din mijloc. Deci raspuns 14 minim.
Senior (6.9k puncte)
1 0

M-am gandit la ceva asemanator. smiley

Doar ca distanta intre doi vecini din cei 6 nu este mai mare de 1 m ci este chiar 1m. Latura hexagonului regulat este egala cu raza cercului circumscris. Trebuie sa pui doar 5 ca sa mearga. 

 

0 0

Interesant Ciprian Constantin & mircea_p.

0 1
Ai dreptate Mircea eu ma gandeam la distanta arcului de cerc intre ei, Oricum ipoteza ramane valabila.
0 plusuri 0 minusuri
50:5=10 grupuri/pentagoane, mor cei din centru + cate unul din colturile lor.

10x2=20.

Total eronat!. Nu sunt 60, (cati ar trebui ca sa fie si in centre cate unul), ci doar 50 de banditi.
Junior (740 puncte)
editat de
0 0
Totuşi măcelul se poate minimiza.
0 0
pai intr-un pentagon distanta dintre ei e mai mica decat fata de cel din mijloc. Deci ar incepe sa se impuste intre ei. Ca mergand dupa ipoteza ta punem 49 in jurul unui singur om., dar distanta dintre ei ar fi mai mica....
0 0
Baza triunghiului isoscel, (latura pentagonului), care are unghiul opus ei mai mare de 60 de grade, este mai mare/lunga decat laturile adiacente unghiului, (razele cercului circumscris). La hexagon erau fix egale iar de la heptogon/heptagon in sus sunt mai mici.
1 0
am facut confuzie si am scris pentagon cand ma gandeam la decagon, din grupurile tale de cate 10 persoane. La asta faceam referire ca sunt mai apropriati intre ei decat cel din mijloc :|
0 plusuri 0 minusuri
Infractorii pot fi dispusi si in spatiu. Fac 5 octogoane regulate cu cate un bandit in centru si un tetraedru idem. 2x5 + 2 = 12 banditi mai putin pe lume. Daca cineva obtine un numar mai mic sa nu se abtina si sa ne spuna si noua.
Junior (817 puncte)
0 0

La un octogon regulat latura nu este egală cu distanţa de la centru la un vîrf. AdiJapan susţine că numărul minim de pistolari morţi este <= 7,  ceea ce mi-ar da total peste cap calculul, dar nu cred pînă nu văd.

0 0
Sorry. Din graba am scris octogon. Trebuia scris octaedru. La octaedru si la tetraedru distanta de la un varf pana la centru e mai mica decat cea dintre varfuri. In centrul octaedrului este un bandit care incaseaza opt gloante si impusca pe unul din cei opt. In fiecare octaedru mor cate doi, la fel si in tetraedru. 2x5 + 2 = 12
0 0

Un octaedru are şase vîrfuri şi opt feţe.

0 plusuri 0 minusuri

Nu ştiu dacă este posibil sau dacă este corect dar cred că numărul minim posibil de victime care să respecte regula se poate reduce la 2, mai puţin de două victime adică una singură îi clar că nu este posibil. Şi cum cred că ar putea fi posibil acest lucru: construim o structură în formă de hexacosichoron (http://en.wikipedia.org/wiki/600-cell) care este un convex regulat de 4-polytope şi este în patru dimensiuni care mai este numit şi tetraplex care este compus din 600 de celule tetraedrice cu 20 de întâlniri la fiecare nod. Impreuna formeaza 1,200 fețe triunghiulare, (triunghiuri echilaterale), 720 de margini, și 120 de noduri în care sunt cinci triunghiuri reunite în fiecare nod. Marginile formează 72 de decagoane regulate plate. Deci avem 120 de noduri sau colţuri toate la distanţe egale între ele şi faţă de cel din mijloc, deci dintre cei 50 de răufăcători înarmaţi 49 îi putem poziţiona pe oricare nod sau colţ din cele 120 şi al 50-zecelea răufăcător în mijlocul structurii în care fiecare din cei 49 are 5 vecini, între ei fiind aceeaşi distanţă şi încă un vecin al 50-zecelea care este în mijlocul structurii şi o să avem 49 care se află toţi la aceeaşi distanţă faţă de al 50-zecelea care este în mijloc, care aceeaşi distanţă este şi între cei 49, şi de aici rezultă că cei 49 ţintesc asupra celui din mijloc şi cel din mijloc ţinteşte asupra unuia din cei 49 şi o să avem doar două victime.

Poate o să fie unii care o să se întrebe cum construim o strucrură  în 4 dimensiuni când noi trăim într-o lume cu 3 dimensiuni şi acelora o să le spun da este posibil şi performanţa aceasta a reuşit-o matematicianul de origine română dr.Adrian Ocneanu, profesor de matematică la Pennsylvania State University (Eberly College of Science). Multă vreme, oamenii de ştiinţă - matematicieni, fizicieni, chimişti etc., şi-au imaginat şi au studiat diverse structuri şi obiecte ce cu greu le-au explicat şi reprezentat în spaţiul 3-dimensional înţeles de oameni (3D, spaţiul lumii reale în coordonate spaţiale (x,y,z)). Până în anul 2005 nu s-a realizat o reprezentare reală sau virtuală pentru un obiect 4-dimensional. Deşi matematicienii, şi în general oamenii de ştiinţă, lucrează frecvent cu 4 dimensiuni şi n-dimensional (n>4), a patra dimensiune spaţială este dificil de reprezentat şi vizualizat. Modelele în spaţiul 4-dimensional sunt utile pentru găsirea de noi relaţii şi fenomene în studiul şi cercetarea naturii.

http://www.agora.ro/stire/prima-data-lume-obiectul-3d-octacube-conceput-si-proiectat-de-dr-adrian-ocneanu-matematician-d

http://en.wikipedia.org/wiki/Octacube_(sculpture)

https://www.google.ro/search?q=4+dimensional+objects&client=opera&hs=i3a&biw=1440&bih=774&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=KudUVPW-HZDjasSmgZAD&ved=0CAYQ_AUoAQ#facrc=_&imgdii=_&imgrc=A5vb4UFN2wJDNM%253A%3BGTztduWr5Rz1_M%3Bhttp%253A%252F%252Fscience.psu.edu%252Falert%252Fphotos%252Fmiscphotos%252Foctacube-images%252FsculpturePhotoLG4.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fscience.psu.edu%252Fnews-and-events%252F2005-news%252Fmath10-2005.htm%252F%3B3072%3B2304

Novice (156 puncte)
0 0
Consecventa, desi de gen feminin, nu este o caracteristica specific feminina: nu degeaba justitia e o cucoana legata la ochi!.
0 0
4 dimensiuni nu e intocmai compatibil cu spatiul nostru 3d ,dar da el exista intr-un mod virtual greu de inteles intrucat suntem incapabili sa vizualizam asa ceva.Totusi proiectiile(cum ar fi umbra) unui obiect in 4 dimensiuni se duc in obiecte de 3 dimensiuni.Ce inseamna asta ?Adica un obiect de 4 dimensiuni lasa mai degraba urme de 3 dimensiuni ca fiind de fapt o proiectie a sa si asta da devin vizibile(ciudatachestie!!! le vedem umbra dar nu putem vedea si restul).Deci chiar daca ai remarcat o solutie care rezolva problema intr-un spatiu de 4 dimensiuni zic totusi sa nu o acceptam deoarece ar fi trebuit sa nu ii mai numim pistolari pe aceia ce traiesc in acest spatiu.

 Totusi nu vreau sa fiu inteles gresit dimensionarea spatiului nu inseamna ca e un studiu facut aiurea .Spatiiile vectoriale sunt un exemplu care explica mai multe probleme de algebra sau analiza.
0 0
Intr-un cub asez 10 banditi: 8 in colturi si 2 in centru, lipiti unul de altul. Distanta de la coltul cubului la centru este mai mica decat latura (~0,87 L). Banditii din centru se impusca intre ei, iar cei din colturi trag tot in ei. Mor doi din zece. In 5 cuburi incap toti cei 50 si mor 10. Cred ca 10 este numarul minim.
0 0
am înţeles, aşa este nu putem percepe în totalitate un obiect în 4 dimensiuni când noi trăim în 3 dimensiuni, încă nu avem această capacitate.
0 0
Este complet off-topic, dar cred ca putem percepe in totalitate un obiect 4D printr-un numar suficient de proiectii 3D. In desenul tehnic (2D) orice corp 3D este reprezentat complet prin (cel putin) trei proiectii ortogonale. Cel familiarizat percepe in totalitate corpul spatial privind cele trei desene. Programele de proiectare permit perceptia facila a unui corp 3D pe ecranul 2D al monitorului. Pentru a percepe un corp 4D trebuie sa ne familiarizam sa privim cateva proiectii 3D, iar creierul sa faca integrarea lor.
...